一般力學/不均勻啞鈴

啞鈴的動能和角動量可以分成兩部分，一部分與啞鈴質心的運動有關，另一部分與啞鈴相對於其質心的運動有關。

為此，我們首先將位置向量分成兩部分。質心位於。

$\mathbf {R} ={\frac {M_{1}\mathbf {r} _{1}+M_{2}\mathbf {r} _{2}}{M_{1}+M_{2}}}$

因此，我們可以定義新的位置向量，給出質量相對於質心的位置，如圖所示。

$\mathbf {r} _{1}^{*}=\mathbf {r} _{1}-\mathbf {R} \quad \mathbf {r} _{2}^{*}=\mathbf {r} _{2}-\mathbf {R}$

總動能為

${\begin{matrix}K&=&{\frac {1}{2}}M_{1}V_{1}^{2}&+&{\frac {1}{2}}M_{2}V_{2}^{2}\\&=&{\frac {1}{2}}M_{1}|\mathbf {V} -\mathbf {v} _{1}^{*}|^{2}&+&{\frac {1}{2}}M_{2}|\mathbf {V} -\mathbf {v} _{2}^{*}|^{2}\\&=&{\frac {1}{2}}(M_{1}+M_{2})V^{2}&+&{\frac {1}{2}}M_{1}{v_{1}^{*}}^{2}+{\frac {1}{2}}M_{2}{v_{2}^{*}}^{2}\\&=&K_{ext}&+&K_{int}\\\end{matrix}}$

這是啞鈴如果兩個質量都集中在質心時將具有的動能之和，即平移動能，以及如果從質心靜止的參考系觀察時它將具有的動能之和，即旋轉動能。

總角動量可以類似地分解

${\begin{matrix}\mathbf {L} &=&\mathbf {L} _{orb}&+&\mathbf {L} _{spin}\\&=&(M_{1}+M_{2})\mathbf {R} \times \mathbf {V} &+&(M_{1}\mathbf {r} _{1}^{*}\times \mathbf {v} _{1}^{*}+M_{2}\mathbf {r} _{2}^{*}\times \mathbf {v} _{2}^{*})\end{matrix}}$

分解為系統如果所有質量都集中在質心時將具有的角動量之和，即軌道角動量，以及繞質心運動的角動量之和，即自旋角動量。

因此，我們可以假設質心是固定的。

由於ω足以描述啞鈴的運動，它也足以確定角動量和內部動能。我們將嘗試用ω來表示這兩個量。

首先，我們使用前面兩個結果

$\mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {v} \quad {\mbox{and}}\quad \mathbf {v} ={\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r}$

將角動量寫成角速度的形式

${\begin{matrix}\mathbf {L} &=&M_{1}\mathbf {r} _{1}^{*}\times \mathbf {v} _{1}^{*}&+&M_{2}\mathbf {r} _{2}^{*}\times \mathbf {v} _{2}^{*}\\&=&M_{1}\mathbf {r} _{1}^{*}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} _{1}^{*})&+&M_{2}\mathbf {r} _{2}^{*}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} _{2}^{*})\\&=&M_{1}\left({\boldsymbol {\omega }}\left(\mathbf {r} _{1}^{*}\cdot \mathbf {r} _{1}^{*}\right)-\mathbf {r} _{1}^{*}\left(\mathbf {r} _{1}^{*}\cdot {\boldsymbol {\omega }}\right)\right)&+&M_{2}\left({\boldsymbol {\omega }}\left(\mathbf {r} _{2}^{*}\cdot \mathbf {r} _{2}^{*}\right)-\mathbf {r} _{2}^{*}\left(\mathbf {r} _{2}^{*}\cdot {\boldsymbol {\omega }}\right)\right)\\&=&M_{1}\left({\boldsymbol {\omega }}d_{1}^{2}-\mathbf {r} _{1}^{*}\left(\mathbf {r} _{1}^{*}\cdot {\boldsymbol {\omega }}\right)\right)&+&M_{2}\left({\boldsymbol {\omega }}d_{2}^{2}-\mathbf {r} _{2}^{*}\left(\mathbf {r} _{2}^{*}\cdot {\boldsymbol {\omega }}\right)\right)\\&=&(M_{1}d_{1}^{2}+M_{2}d_{2}^{2}){\boldsymbol {\omega }}&-&\left(M_{1}\mathbf {r} _{1}^{*}\left(\mathbf {r} _{1}^{*}\cdot {\boldsymbol {\omega }}\right)+M_{2}\mathbf {r} _{2}^{*}\left(\mathbf {r} _{2}^{*}\cdot {\boldsymbol {\omega }}\right)\right)\end{matrix}}$

角動量中的第一項與角速度成正比，正如預期的那樣，但第二項並非如此。

如果我們看一下L的各個分量，這將變得更加清晰。為了方便表示，我們將寫

$\mathbf {r} _{1}^{*}=(x_{1},y_{1},z_{1})\quad \mathbf {r} _{2}^{*}=(x_{2},y_{2},z_{2})$

這六個數是常數，反映了啞鈴的幾何形狀。

${\begin{matrix}L_{x}&=&(M_{1}d_{1}^{2}+M_{2}d_{2}^{2})\omega _{x}-(M_{1}x_{1}^{2}+M_{2}x_{2}^{2})\omega _{x}\\&&-(M_{1}x_{1}y_{1}+M_{2}x_{2}y_{2})\omega _{y}-(M_{1}x_{1}z_{1}+M_{2}x_{2}z_{2})\omega _{z}\\L_{y}&=&(M_{1}d_{1}^{2}+M_{2}d_{2}^{2})\omega _{y}-(M_{1}x_{1}^{2}+M_{2}x_{2}^{2})\omega _{y}\\&&-(M_{1}x_{1}y_{1}+M_{2}x_{2}y_{2})\omega _{x}-(M_{1}y_{1}z_{1}+M_{2}y_{2}z_{2})\omega _{z}\\L_{z}&=&(M_{1}d_{1}^{2}+M_{2}d_{2}^{2})\omega _{z}-(M_{1}x_{1}^{2}+M_{2}x_{2}^{2})\omega _{z}\\&&-(M_{1}x_{1}z_{1}+M_{2}x_{2}z_{2})\omega _{x}-(M_{1}y_{1}z_{1}+M_{2}y_{2}z_{2})\omega _{y}\\\end{matrix}}$

我們認識到這是一個矩陣乘法。

${\begin{pmatrix}L_{x}\\L_{y}\\L_{z}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}I_{xx}&I_{xy}&I_{xz}\\I_{yx}&I_{yy}&I_{yz}\\I_{zx}&I_{zy}&I_{zz}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\omega _{x}\\\omega _{y}\\\omega _{z}\end{pmatrix}}$

其中

${\begin{pmatrix}I_{xx}&I_{xy}&I_{xz}\\I_{yx}&I_{yy}&I_{yz}\\I_{zx}&I_{zy}&I_{zz}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}M_{1}(d_{1}^{2}-x_{1}^{2})+M_{2}(d_{2}^{2}-x_{2}^{2})&-(M_{1}x_{1}y_{1}+M_{2}x_{2}y_{2})&-(M_{1}x_{1}z_{1}+M_{2}x_{2}z_{2})\\-(M_{1}x_{1}y_{1}+M_{2}x_{2}y_{2})&M_{1}(d_{1}^{2}-y_{1}^{2})+M_{2}(d_{2}^{2}-y_{2}^{2})&-(M_{1}y_{1}z_{1}+M_{2}y_{2}z_{2})\\-(M_{1}x_{1}z_{1}+M_{2}x_{2}z_{2})&-(M_{1}y_{1}z_{1}+M_{2}y_{2}z_{2})&M_{1}(d_{1}^{2}-z_{1}^{2})+M_{2}(d_{2}^{2}-z_{2}^{2})\end{pmatrix}}$

矩陣 I 的九個係數稱為慣性矩。

透過仔細選擇座標軸，我們可以使這個矩陣成為對角矩陣。例如，如果

$\mathbf {r} _{1}^{*}=(d_{1},0,0)\quad \mathbf {r} _{2}^{*}=(-d_{2},0,0)$

那麼

${\begin{pmatrix}I_{xx}&I_{xy}&I_{xz}\\I_{yx}&I_{yy}&I_{yz}\\I_{zx}&I_{zy}&I_{zz}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&M_{1}d_{1}^{2}+M_{2}d_{2}^{2}&0\\0&0&M_{1}d_{1}^{2}+M_{2}d_{2}^{2}\end{pmatrix}}$

由於啞鈴沿 *x* 軸對齊，因此繞該軸旋轉啞鈴不會產生任何影響。

動能 *T* 和 ω 之間的關係很快就會得出。

${\begin{matrix}2T&=&M_{1}{v_{1}^{*}}^{2}&+&M_{2}{v_{2}^{*}}^{2}\\&=&M_{1}\mathbf {v} _{1}^{*}\cdot ({\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} _{1}^{*})&+&M_{1}\mathbf {v} _{2}^{*}\cdot ({\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} _{2}^{*})\\&=&M_{1}{\boldsymbol {\omega }}\cdot (\mathbf {r} _{1}^{*}\times \mathbf {v} _{1}^{*})&+&M_{2}{\boldsymbol {\omega }}\cdot (\mathbf {r} _{2}^{*}\times \mathbf {v} _{2}^{*})\end{matrix}}$

在等式右邊，我們立刻可以識別出角動量的定義。

$T={\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\omega }}\cdot \mathbf {L}$

用 **L** 替換得到

$T={\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\omega }}\mathbf {I} {\boldsymbol {\omega }}$

使用定義

${\boldsymbol {\omega }}=\omega \mathbf {n} \quad \mathbf {n} \cdot \mathbf {n} =1$

簡化為

$T={\frac {1}{2}}I\omega ^{2}$

其中， *圍繞軸 **n** 的慣性矩為*

$I=\mathbf {n} \mathbf {I} \mathbf {n}$

是一個常數。

如果啞鈴像之前一樣沿 *x* 軸對齊，我們將得到

$T={\frac {1}{2}}(M_{1}d_{1}^{2}+M_{2}d_{2}^{2})(\omega _{y}^{2}+\omega _{z}^{2})$

這些旋轉動力學方程與線性動力學方程類似，只是 **I** 是一個矩陣，而不是一個標量。

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• 現代物理/不均勻啞鈴