普通力學/功和功率

功

當對物體施加力時，能量被轉移到物體上。轉移的能量被稱為對物體所做的功。在數學上，功被定義為力和位移的點積，因此它是一個標量。但是，只有當物體移動時，能量才會轉移。功可以被認為是將能量從一種形式轉變為另一種形式的過程。完成的功W為

$W=F\Delta x$

其中物體移動的距離為Δx，施加在它上面的力為F。注意，功可以是正的也可以是負的。如果所作用的物體沿力的方向移動，則功為正，如果物體沿與力的方向相反的方向移動，則功為負。

這個方程假設力在整個位移或距離（取決於情況）上保持不變。如果不是這樣，那麼有必要將位移分解為多個較小的位移，在每個位移中力都可以被認為是恆定的。總功是每個小位移的功之和。在無窮小極限情況下，這變成了一個積分

$W=\int F(s)\,ds$

如果多個力作用在物體上，則由於不同力而產生的功分別加或減能量，取決於它們是正的還是負的。總功是這些單個功之和。

有兩個特殊情況，其中對物體所做的功與其他量相關。如果F是作用在物體上的總力，那麼根據牛頓第二定律W=FΔx=mΔx·a。然而，a=dv/dt，其中v是物體的速度，並且Δx≈vΔt，其中Δt是物體移動距離Δx所需的時間。當Δx和Δt變得非常小時，近似值變得精確。將所有這些放在一起得到

$W_{total}=m{\frac {dv}{dt}}v\Delta t=\Delta t{\frac {d}{dt}}{\frac {mv^{2}}{2}}$

我們將量mv²/2 稱為動能，或K。它代表著作為運動儲存的功的數量。那麼我們可以說

$W_{total}={\frac {dK}{dt}}\Delta t=\Delta K$

因此，當F是唯一的力時，作用在物體上的總功等於物體動能的變化。這種轉化被稱為“功能定理”。

另一個特殊情況發生在力僅取決於位置，但不一定是作用在物體上的總力。在這種情況下，我們可以定義一個函式

$U(x)=-\int ^{x}F(s)\,ds$

並且力在從x₁移動到x₂時所做的功為U(x₁)-U(x₂)，無論物體移動的速度是快還是慢。

如果力是像這樣的，它被稱為保守力，並且U被稱為勢能。微分定義得到

$F=-{\frac {dU}{dx}}$

這些方程中的負號純粹是約定俗成的。

如果力是保守力（其效應不依賴於它所經過的路徑），我們可以將它所做的功寫成

$W=-{\frac {dU}{dx}}\Delta x=-\Delta U$

其中是與感興趣的力相關的物體勢能的變化。

能量

勢能（由於其位置而產生的能量）和動能（由於其運動而產生的能量）之和是恆定的。我們將這個常數稱為總能量E

$E=K+U$

如果所有涉及的力都是保守力，我們可以將此與之前對功的表示式等同起來，得到功、動能和勢能之間的以下關係

$\Delta K=W=-\Delta U$

接下來，我們有一個非常重要的公式，稱為“能量守恆”

$\Delta (K+U)=0$

該定理指出，系統中的總能量是恆定的，能量既不能被創造也不能被消滅。

功率

與力相關的功率就是力所做的功除以做功的時間間隔。因此，它是指力對物體傳遞的單位時間內的能量。從上面的公式可以看出，功率為：

$P={\frac {F\Delta x}{\Delta t}}=Fv$

其中 $v$ 是物體運動的速度。總功率是每個力的功率之和，等於物體動能隨時間的變化率：

$P_{total}={\frac {W_{total}}{\Delta t}}={\frac {dK}{dt}}$