廣義相對論/BKL 奇點

BKL（Belinsky-Khalatnikov-Lifshitz）奇點 是一個模型，描述了宇宙在 初始奇點 附近的動態演化過程，由 各向異性、均勻、混沌 的 解 描述，該解符合 愛因斯坦場方程 。根據這個模型，宇宙在奇點（奇點）附近振盪（膨脹 和收縮），在這個奇點，時間和空間都變為零。這個奇點在物理上是真實的，因為它 解 的必要屬性，並且也會出現在這些方程的 精確解 中。這個奇點不是由其他眾所周知的特殊 解 （例如 弗裡德曼-勒梅特-羅伯遜-沃克、準各向同性、卡斯納 解）的假設和簡化人為產生的。

混雜宇宙 是 廣義相對論 的一個解，它表現出與 BKL 討論的屬性類似的屬性。

時間奇點的存在

現代宇宙學的基礎是 亞歷山大·弗裡德曼 在 1922 年和 1924 年發現的愛因斯坦場方程的特殊 解，這些解描述了一個完全均勻且各向同性的宇宙，具有兩種可能的拓撲結構中的任何一種，對應於具有恆定正曲率的空間（“封閉模型”）或具有恆定負曲率的空間（“開放模型”）。這些 解 的主要性質是非靜態性質。從 弗裡德曼解 中出現的 膨脹宇宙 的概念，得到了 E. 哈勃發現的紅移現象的精彩證實，當前的共識是，各向同性模型 通常很好地描述了宇宙的當前狀態。

同時，很明顯，在現實世界中，均勻性充其量只是一種近似。即使人們可以談論在遠大於星系際空間的距離上物質密度的均勻分佈，這種均勻性在過渡到更小的尺度時就會消失。另一方面，均勻性假設在數學方面走得非常遠。與均勻性相關的解的高度對稱性會導致特定屬性的消失，而這些屬性在考慮更一般情況時就會消失。

一個相關的問題是，各向同性模型的另一個重要屬性 — 時間奇點 在 時空度規 中的存在，是多麼普遍。換句話說，時間奇點的存在意味著 時間的有限性。在開放模型中，有一個時間奇點，因此時間從一端有限，而在封閉模型中，有兩個奇點限制了時間的兩端。

各向同性模型在描述宇宙當前狀態方面的適用性本身並不是期待它在描述宇宙演化的早期階段也同樣適用。BKL 論文 最初解決的問題是，時間奇點的存在是否是相對論 宇宙學模型 的必要屬性。有可能奇點是由構建這些模型時作出的簡化假設產生的。奇點與假設的獨立性將意味著時間奇點不僅存在於特定的解中，而且存在於愛因斯坦方程的一般解中。解的普遍性標準是它們包含的任意空間座標函式的數量。這些只包括“物理任意”函式，它們的數目不能透過任何參考系的選取來減少。在一般解中，這些函式的數量必須足以在某個被選為初始時刻的時間點上任意定義 初始條件 （物質的分佈和運動、引力場的分佈）。這個數字對於真空來說是 4，對於充滿物質和/或輻射的空間來說是 8。

對於像愛因斯坦方程這樣的非線性 微分方程 系統，一般解沒有明確定義。原則上，可能存在多個一般積分，並且每個積分可能只包含所有可能初始條件的有限子集。每個積分可能包含所有必需的任意函式，但是這些函式可能受某些條件的限制（例如，某些不等式）。因此，具有奇點的一般解的存在並不排除也存在不包含奇點的其他一般解。例如，沒有理由懷疑不存在沒有奇點的一般解，它描述了一個質量相對較小的孤立物體。

不可能找到所有空間和所有時間的通解。然而，對於解決這個問題，這並不是必要的：足以研究奇點附近的解。這也將解決問題的另一個方面：一般解在達到物理奇點時的時空度規演化的特徵，物理奇點被理解為物質密度和 黎曼曲率張量 的不變數變得無限的點。BKL 論文 只關注宇宙學方面。這意味著，主題是整個時空中的時間奇點，而不是像有限物體的 引力坍縮 中那樣存在於某些有限區域中的奇點。

Landau-Lifshitz 小組 的先前工作（在 中進行了回顧）得出的結論是，一般解不包含物理奇點。這種尋找具有奇點的更廣泛解類的研究，本質上是透過試錯法進行的，因為缺乏對愛因斯坦方程的系統研究方法。以這種方式獲得的負面結果本身並不令人信服；具有必要普遍性的解將使其失效，並同時證實與特定解相關的任何正面結果。

如果一般解中存在奇點，那麼很合理地建議，一定存在一些只基於愛因斯坦方程最一般性質的跡象，儘管這些跡象本身可能不足以表徵奇點。當時，唯一已知的跡象與愛因斯坦方程在同步參考系中寫成的形式有關，也就是說，在該參考系中，間隔元素為

$ds^{2}=dt^{2}-dl^{2},dl^{2}=\gamma _{\alpha \beta }dx^{\alpha }dx^{\beta }\,$ （等式 1）

其中空間距離元素dl與時間間隔dt分離，x⁰ = t 是在整個空間中同步的固有時。^[7] 愛因斯坦方程 $\scriptstyle {R_{0}^{0}=T_{0}^{0}-{\frac {1}{2}}T}$，在同步座標系中寫出，會導致一個結果，即無論對物質分佈做出任何假設，度規行列式g都不可避免地在有限時間內變為零。^[2][3]

然而，這一跡象在人們意識到它與同步座標系的特定幾何特性有關之後就被放棄了：時間線座標的交叉。這種交叉發生在一些環繞的超曲面上，這些超曲面是幾何光學中焦散面的四維類比；g正好在交叉點處變為零。^[6] 因此，儘管這種奇點是普遍存在的，但它是虛假的，而不是物理奇點；當參考系改變時，它就會消失。這顯然阻止了人們進行進一步研究的動力。

然而，在 彭羅斯 發表了他的定理^[8] 之後，人們對這個問題的興趣再次增加，這些定理將未知特徵奇點的存在與一些非常一般的假設聯絡起來，這些假設與參考系的選取沒有任何共同之處。後來，霍金^[9][10] 和 傑羅奇^[11] 也發現了類似的定理（參見 彭羅斯-霍金奇點定理）。人們清楚地認識到，必須繼續尋找具有奇點的廣義解。

廣義卡斯納解

解的進一步推廣依賴於以前發現的一些解類別。例如，弗裡德曼解是包含三個物理任意座標函式的解類別的一個特例。^[2] 在這一類別中，空間是各向異性的；然而，它在接近奇點時的壓縮具有“準各向同性”特徵：所有方向上的線性距離都以相同時間的冪遞減。與完全均勻和各向同性的情況一樣，這一類解僅存在於充滿物質的空間中。

透過推廣由 卡斯納^[12] 針對真空場推匯出的一個精確特解，可以得到更為廣義的解，其中空間是均勻的，並且具有歐幾里德度規，該度規根據 卡斯納度規 隨時間變化

$dl^{2}=t^{2p_{1}}dx^{2}+t^{2p_{2}}dy^{2}+t^{2p_{3}}dz^{2}$ （等式 2）

（參見^[13]）。這裡，p₁，p₂，p₃ 是任意 3 個數字，它們由以下關係式關聯

$p_{1}+p_{2}+p_{3}=p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+p_{3}^{2}=1.$ （等式 3）

由於這些關係式，3 個數字中只有一個是獨立的。所有 3 個數字都不可能相同；只有在以下值集中，2 個數字才相同：$\scriptstyle {(-{\frac {1}{3}},{\frac {2}{3}},{\frac {2}{3}})}$ 和（0, 0, 1）。^[14] 在所有其他情況下，數字都不同，一個數字為負，另外兩個為正。如果按遞增順序排列數字，p₁ < p₂ < p₃，則它們在以下範圍內變化

$-{\frac {1}{3}}\leq p_{1}\leq 0,\ 0\leq p_{2}\leq {\frac {2}{3}},\ {\frac {2}{3}}\leq p_{3}\leq 1.$ （等式 4）

數字 p₁，p₂，p₃ 可以用引數形式寫成

$p_{1}(u)={\frac {-u}{1+u+u^{2}}},\ p_{2}(u)={\frac {1+u}{1+u+u^{2}}},\ p_{3}(u)={\frac {u(1+u)}{1+u+u^{2}}}$ (等式 5)

所有不同值的p₁，p₂，p₃按上述順序排列，可以透過在u ≥ 1 範圍內改變引數u 的值獲得。u < 1 的值根據以下方式引入到此範圍中

$p_{1}\left({\frac {1}{u}}\right)=p_{1}(u),\ p_{2}\left({\frac {1}{u}}\right)=p_{3}(u),\ p_{3}\left({\frac {1}{u}}\right)=p_{2}(u)$ (等式 6)

圖 1

圖 1 是p₁，p₂，p₃ 的曲線圖，其引數為 1/u。數字p₁(u) 和p₃(u) 是單調遞增的函式，而p₂(u) 是引數u 的單調遞減函式。

在廣義解中，與 (等式 2) 相對應的形式僅適用於漸近度規（接近奇點t = 0 的度規），分別是其按t 的冪展開的 主要項。在同步參考系中，它以 (等式 1) 的形式寫成，其中空間距離元素為

$dl^{2}=(a^{2}l_{\alpha }l_{\beta }+b^{2}m_{\alpha }m_{\beta }+c^{2}n_{\alpha }n_{\beta })dx^{\alpha }dx^{\beta }\,$ (等式 7)

其中 $a=t^{p_{l}},\ b=t^{p_{m}},\ c=t^{p_{n}}$ (等式 8)

三維向量l，m，n 定義了空間距離隨時間按冪律 (等式 8) 變化的方向。這些向量以及數字p_l，p_m，p_n ，如前所述，由 (等式 3) 關聯，是空間座標的函式。冪p_l，p_m，p_n 未按遞增順序排列，保留符號p₁，p₂，p₃ 來表示 (等式 5) 中的數字，這些數字仍然按遞增順序排列。 (等式 7) 中度規的行列式為

$-g=a^{2}b^{2}c^{2}v^{2}=t^{2}v^{2}\,$ (等式 9)

其中v = l[mn]。引入以下量

$\lambda ={\frac {\mathbf {l} \ \mathrm {rot} \ \mathbf {l} }{v}},\ \mu ={\frac {\mathbf {m} \ \mathrm {rot} \ \mathbf {m} }{v}},\ \nu ={\frac {\mathbf {n} \ \mathrm {rot} \ \mathbf {n} }{v}}.$ (等式 10)

(等式 7) 中的空間度規是各向異性的，因為 (等式 8) 中的t 的冪不能取相同的值。當接近t = 0 處的奇點時，每個空間元素中的線性距離在兩個方向上減小，在第三個方向上增加。元素的體積按t 的比例減小。

同步參考系中真空中的愛因斯坦方程為

$R_{0}^{0}=-{\frac {1}{2}}{\frac {\partial \varkappa _{\alpha }^{\alpha }}{\partial t}}-{\frac {1}{4}}\varkappa _{\alpha }^{\beta }\varkappa _{\beta }^{\alpha }=0,$ (等式 11)

$R_{\alpha }^{\beta }=-\left({\frac {1}{2}}{\sqrt {-g}}\right){\frac {\partial }{\partial t}}\left({\sqrt {-g}}\varkappa _{\alpha }^{\beta }\right)-P_{\alpha }^{\beta }=0,$ (eq. 12)

$R_{\alpha }^{0}={\frac {1}{2}}\left(\varkappa _{\alpha ;\beta }^{\beta }-\varkappa _{\beta ;\alpha }^{\beta }\right)=0,$ (eq. 13)

其中，$\scriptstyle {\varkappa _{\alpha }^{\beta }}$ 是三維張量 $\scriptstyle {\varkappa _{\alpha }^{\beta }={\frac {\partial \gamma _{\alpha }^{\beta }}{\partial t}}}$，而 *P*_αβ 是三維 Ricci 張量，它以與 *R*_ik 由 *g*_ik 表達相同的方式由三維度量張量 γ_αβ 表達；*P*_αβ 僅包含 γ_αβ 的空間（而不是時間）導數。

Kasner 度量透過從 (eq. 7) 中替換相應的度量張量 γ_αβ 而在愛因斯坦方程中引入，而沒有 *a priori* 定義 *a*、*b*、*c* 對 *t* 的依賴性。

$\varkappa _{\alpha }^{\beta }=\left({\frac {2{\dot {a}}}{a}}\right)l_{\alpha }l^{\beta }+\left({\frac {2{\dot {b}}}{b}}\right)m_{\alpha }m^{\beta }+\left({\frac {2{\dot {c}}}{c}}\right)n_{\alpha }n^{\beta }$

其中，符號上方的點表示對時間求導數。愛因斯坦方程 (eq. 11) 取以下形式

$-R_{0}^{0}={\frac {\ddot {a}}{a}}+{\frac {\ddot {b}}{b}}+{\frac {\ddot {c}}{c}}=0.$ (eq. 14)

它的所有項都是針對大（在 *t* → 0 處）量 1/*t* 的二階項。在愛因斯坦方程 (eq. 12) 中，此類階數的項僅來自經時間微分的項。如果 *P*_αβ 的分量不包含高於 2 階的項，那麼

$-R_{l}^{l}={\frac {({\dot {a}}bc){\dot {}}}{abc}}=0,\ -R_{m}^{m}={\frac {(a{\dot {b}}c){\dot {}}}{abc}}=0,\ -R_{n}^{n}={\frac {(ab{\dot {c}}){\dot {}}}{abc}}=0$ (等式 15)

其中，指標 l、m 和 n 表示張量在方向 l、m 和 n 上的成分。 這些方程與（等式 14）一起給出了（等式 8）的表示式，其冪滿足（等式 3）。

但是，3 個冪 p_l、p_m、p_n 中存在一個負冪會導致 P_αβ 中出現大於 t⁻² 階的項。如果負冪是 p_l（p_l = p₁ < 0），那麼 P_αβ 包含座標函式 λ，並且（等式 12）變為

${\begin{aligned}-R_{l}^{l}&={\frac {({\dot {a}}bc){\dot {}}}{abc}}+{\frac {\lambda ^{2}a^{2}}{2b^{2}c^{2}}}=0,\\-R_{m}^{m}&={\frac {(a{\dot {b}}c){\dot {}}}{abc}}-{\frac {\lambda ^{2}a^{2}}{2b^{2}c^{2}}}=0,\\-R_{n}^{n}&={\frac {(ab{\dot {c}}){\dot {}}}{abc}}-{\frac {\lambda ^{2}a^{2}}{2b^{2}c^{2}}}=0.\\\end{aligned}}$ (等式 16)

這裡，第二項的階數為 t^{−2(p_m + p_n − p_l)}，其中 p_m + p_n − p_l = 1 + 2 |p_l| > 1。 為了消除這些項並恢復度量（等式 7），必須對座標函式施加條件 λ = 0。

剩下的 3 個愛因斯坦方程（等式 13）只包含度量張量的二階時間導數。它們給出了 3 個與時間無關的關係，必須作為對（等式 7）中座標函式的必要條件。這與條件 λ = 0 一起，構成了 4 個條件。這些條件約束了 10 個不同的座標函式：向量 l、m、n 的每個向量的 3 個分量，以及 t 的冪中的一個函式（p_l、p_m、p_n 中的任何一個函式，它們由條件（等式 3）約束）。在計算物理上任意函式的數量時，必須考慮到這裡使用的同步系統允許對 3 個空間座標進行與時間無關的任意變換。因此，最終解包含 10 − 4 − 3 = 3 個物理上任意函式，比真空的一般解少一個。

引入物質不會降低此時達到的普遍性程度；物質被寫入度量（等式 7）中，並貢獻了 4 個新的座標函式，這些函式對於描述其密度的初始分佈及其速度的 3 個分量是必要的。這使得可以僅僅從其在先驗給定的引力場中的運動規律來確定物質的演化。這些運動規律是流體動力學方程

${\frac {1}{\sqrt {-g}}}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}\left({\sqrt {-g}}\sigma u^{i}\right)=0,$ (等式 17)

$(p+\varepsilon )u^{k}\left\{{\frac {\partial u_{i}}{\partial x^{k}}}-{\frac {1}{2}}u^{l}{\frac {\partial g_{kl}}{\partial x^{i}}}\right\rbrace =-{\frac {\partial p}{\partial x^{i}}}-u_{i}u^{k}{\frac {\partial p}{\partial x^{k}}},$ (等式 18)

其中 u ⁱ 是四維速度，ε 和 σ 分別是物質能量密度和熵密度。 對於超相對論狀態方程 p = ε /3，熵 σ ~ ε^1/4。等式 17 和等式 18 中的主要項是包含時間導數的項。從等式 17 和等式 18 的空間分量可以得到

${\frac {\partial }{\partial t}}\left({\sqrt {-g}}u_{0}\varepsilon ^{\frac {3}{4}}\right)=0,\ 4\varepsilon \cdot {\frac {\partial u_{\alpha }}{\partial t}}+u_{\alpha }\cdot {\frac {\partial \varepsilon }{\partial t}}=0,$

導致

$abcu_{0}\varepsilon ^{\frac {3}{4}}=\mathrm {const} ,\ u_{\alpha }\varepsilon ^{\frac {1}{4}}=\mathrm {const} ,$ (等式 19)

其中 'const' 是與時間無關的量。此外，從恆等式 u_iuⁱ = 1 可以得到（因為 u_α 的所有協變分量具有相同的數量級）

$u_{0}^{2}\approx u_{n}u^{n}={\frac {u_{n}^{2}}{c^{2}}},$

其中 u_n 是沿 n 方向的速度分量，與 t 的最高（正）冪相關（假設 p_n = p₃）。從上面的關係可以得出

$\varepsilon \sim {\frac {1}{a^{2}b^{2}}},\ u_{\alpha }\sim {\sqrt {ab}}$ (等式 20)

或

$\varepsilon \sim t^{-2(p_{1}+p_{2})}=t^{-2(1-p_{3})},\ u_{\alpha }\sim t^{\frac {(1-p_{3})}{2}}.$ (等式 21)

上述方程可以用來確認物質應力-能量-動量張量中的分量，這些分量出現在等式右側

$R_{0}^{0}=T_{0}^{0}-{\frac {1}{2}}T,\ R_{\alpha }^{\beta }=T_{\alpha }^{\beta }-{\frac {1}{2}}\delta _{\alpha }^{\beta }T,$

實際上，它們比其左側主要項的階數低 1/t。在方程 $\scriptstyle {R_{\alpha }^{0}=T_{\alpha }^{0}}$ 中，物質的存在僅導致對其組成座標函式施加的關係發生變化。^[2]

ε 按照規律 (eq. 21) 變得無窮大這一事實證實了，在 (eq. 7) 的解中，人們處理的是任何值下的物理奇點 p₁, p₂, p₃，除了 (0, 0, 1)。對於這些最後的值，奇點是非物理的，可以透過改變參考系來消除。

與冪 (0, 0, 1) 相對應的虛構奇點是由於時間線座標跨越了某個二維“焦點面”而產生的。正如^[2] 中所指出的，始終可以選擇一個同步參考系，使得這種不可避免的時間線穿越恰好發生在這樣的表面上（而不是三維焦散面）。因此，對於整個空間具有同時虛構奇點的解必須存在，並且具有一般解所需的完整的一組任意函式。靠近點 t = 0，它允許 t 的整數冪進行正則展開。^[18]

朝向奇點的振盪模式

必須對解 (eq. 7) 中的座標函式施加的四個條件是不同型別的：三個條件來自方程 $\scriptstyle {R_{\alpha }^{0}}$ = 0 是“自然的”；它們是愛因斯坦方程結構的結果。但是，導致失去一個導數函式的附加條件 λ = 0 屬於完全不同的型別。

根據定義，一般解是完全穩定的；否則宇宙將不存在。任何擾動都等同於在某個時間點改變初始條件；由於一般解允許任意初始條件，因此擾動無法改變其特徵。換句話說，解 (eq. 7) 存在極限條件 λ = 0 意味著由破壞該條件的擾動引起的的不穩定性。這種擾動的作用必須將模型帶到另一種模式，從而使這種模式成為最一般的模式。這種擾動不能被認為是小的：向新模式的轉變超出了非常小的擾動的範圍。

BKL 對模型在擾動作用下的行為進行的分析，描繪了在接近奇點時的一種複雜的振盪模式。^{[1][19][20][21]} 他們無法在一般情況的廣泛框架內給出這種模式的所有細節。但是，BKL 解釋了在允許進行深入分析的特定模型上的解的最重要特性和特徵。

這些模型基於一種特定型別的齊性空間度規。假設空間的齊性而沒有任何額外的對稱性，在選擇度規方面留下了很大的自由度。根據Bianchi 的分類，所有可能的齊性（但各向異性）空間都分為9 類。^[22] BKL 只研究了 Bianchi VIII 類和 IX 類空間。

如果度規具有 (eq. 7) 的形式，對於每種型別的齊性空間，參考向量 l、m、n 與空間座標之間存在某種函式關係。這種關係的具體形式並不重要。重要的是，對於 VIII 類和 IX 類空間，量 λ、μ、ν (eq. 10) 是常數，而所有“混合”乘積 l rot m、l rot n、m rot l 等都為零。對於 IX 類空間，量 λ、μ、ν 具有相同的符號，可以寫成 λ = μ = ν = 1（3 個常數的同時符號變化不會改變任何東西）。對於 VIII 類空間，2 個常數的符號與第三個常數的符號相反；例如，可以寫成 λ = − 1、μ = ν = 1。^[23]

因此，對擾動對“Kasner 模式”影響的研究被限制在對愛因斯坦方程中包含 λ 的項的影響的研究。VIII 類和 IX 類空間正是出於這種聯絡而成為最合適的模型。由於所有 3 個量 λ、μ、ν 都不同於零，因此條件 λ = 0 不管哪個方向 l、m、n 具有負冪律時間依賴性，都不會成立。

VIII 類和 IX 類空間模型的愛因斯坦方程是^[24]

${\begin{aligned}-R_{l}^{l}&={\frac {\left({\dot {a}}bc\right){\dot {}}}{abc}}+{\frac {1}{2}}\left(a^{2}b^{2}c^{2}\right)\left[\lambda ^{2}a^{4}-\left(\mu b^{2}-\nu c^{2}\right)^{2}\right]=0,\\-R_{m}^{m}&={\frac {(a{\dot {b}}c){\dot {}}}{abc}}+{\frac {1}{2}}\left(a^{2}b^{2}c^{2}\right)\left[\mu ^{2}b^{4}-\left(\lambda a^{2}-\nu c^{2}\right)^{2}\right]=0,\\-R_{n}^{n}&={\frac {\left(ab{\dot {c}}\right){\dot {}}}{abc}}+{\frac {1}{2}}\left(a^{2}b^{2}c^{2}\right)\left[\nu ^{2}c^{4}-\left(\lambda a^{2}-\mu b^{2}\right)^{2}\right]=0,\\\end{aligned}}$ (公式 22)

$-R_{0}^{0}={\frac {\ddot {a}}{a}}+{\frac {\ddot {b}}{b}}+{\frac {\ddot {c}}{c}}=0$ (公式 23)

(其餘分量 $\scriptstyle {R_{l}^{0}}$, $\scriptstyle {R_{m}^{0}}$, $\scriptstyle {R_{n}^{0}}$, $\scriptstyle {R_{l}^{m}}$, $\scriptstyle {R_{l}^{n}}$, $\scriptstyle {R_{m}^{n}}$ 都完全為零）。這些方程式只包含時間函式；這是所有均勻空間中必須滿足的條件。在這裡，公式 22 和公式 23 是精確的，它們的有效性不取決於離 t = 0 的奇點有多近。

如果用它們的自然對數 α、β、γ 代替 a、b、c，公式 22 和公式 23 中的時間導數將採用更簡單的形式。

$a=e^{\alpha },\ b=e^{\beta },\ c=e^{\gamma },$ (公式 24)

根據以下公式用變數 τ 代替 t：

$dt=abc\ d\tau \,$ (公式 25).

那麼

${\begin{aligned}2\alpha _{\tau \tau }&=\left(\mu b^{2}-\nu c^{2}\right)^{2}-\lambda ^{2}a^{4}=0,\\2\beta _{\tau \tau }&=\left(\lambda a^{2}-\nu c^{2}\right)^{2}-\mu ^{2}b^{4}=0,\\2\gamma _{\tau \tau }&=\left(\lambda a^{2}-\mu b^{2}\right)^{2}-\nu ^{2}c^{4}=0,\\\end{aligned}}$ (eq. 26)

${\frac {1}{2}}\left(\alpha +\beta +\gamma \right)_{\tau \tau }=\alpha _{\tau }\beta _{\tau }+\alpha _{\tau }\gamma _{\tau }+\beta _{\tau }\gamma _{\tau }.$ (eq. 27)

將 (eq. 26) 中的方程相加，並將左側的和 (α + β + γ)_{τ τ} 替換為 (eq. 27) 中的和，可以得到一個只包含一階導數的方程，這是系統 (eq. 26) 的第一個積分

$\alpha _{\tau }\beta _{\tau }+\alpha _{\tau }\gamma _{\tau }+\beta _{\tau }\gamma _{\tau }={\frac {1}{4}}\left(\lambda ^{2}a^{4}+\mu ^{2}b^{4}+\nu ^{2}c^{4}-2\lambda \mu a^{2}b^{2}-2\lambda \nu a^{2}c^{2}-2\mu \nu b^{2}c^{2}\right).$ (eq. 28)

該方程充當對 (eq. 26) 初始狀態的約束條件。忽略右側的所有項時，Kasner 模式 (eq. 8) 是 (eq. 26) 的解。但是，這種情況不能無限期地持續下去 (在t → 0 時)，因為在這些項中，總有一些項會增長。因此，如果函式a(t) 中存在負冪 (p_l = p₁)，那麼 Kasner 模式的擾動將由項 λ²a⁴ 產生；其餘的項將隨著t 的減小而減小。如果只在 (eq. 26) 的右側保留增長的項，則得到以下系統

$\alpha _{\tau \tau }=-{\frac {1}{2}}\lambda ^{2}e^{4\alpha },\ \beta _{\tau \tau }=\gamma _{\tau \tau }={\frac {1}{2}}\lambda ^{2}e^{4\alpha }$ (eq. 29)

(比較 (eq. 16)；下面將 λ² 替換為 1)。這些方程的解必須描述度規從初始狀態的演化，它由 (eq. 8) 描述，其中給定了一組冪 (p_l < 0)；設p_l = р₁，p_m = р₂，p_n = р₃，使得

$a\sim t^{p_{1}},\ b\sim t^{p_{2}},\ c\sim t^{p_{3}}.$ (eq. 30)

那麼

$abc=\Lambda t,\ \tau =\Lambda ^{-1}\ln t+\mathrm {const}$ (eq. 31)

其中 Λ 為常數。 (eq. 29) 的初始條件被重新定義為

$\alpha _{\tau }=\Lambda p_{1},\ \beta _{\tau }=\Lambda p_{2},\ \gamma _{\tau }=\Lambda p_{3}\ \mathrm {at} \ \tau \to \infty$ (eq. 32)

方程 (eq. 29) 很容易積分；滿足條件 (eq. 32) 的解為

${\begin{cases}a^{2}={\frac {2|p_{1}|\Lambda }{\operatorname {ch} (2|p_{1}|\Lambda \tau )}},\ b^{2}=b_{0}^{2}e^{2\Lambda (p_{2}-|p_{1}|)\tau }\operatorname {ch} (2|p_{1}|\Lambda \tau ),\\c^{2}=c_{0}^{2}e^{2\Lambda (p_{2}-|p_{1}|)\tau }\operatorname {ch} (2|p_{1}|\Lambda \tau ),\end{cases}}$ (eq. 33)

其中 b₀ 和 c₀ 是另外兩個常數。

可以很容易地看到，函式 (eq. 33) 在 t → 0 時的漸近線為 (eq. 30)。這些函式和函式 t(τ) 在 τ → −∞ 時的漸近表示式為

$a\sim e^{-\Lambda p_{1}\tau },\ b\sim e^{\Lambda (p_{2}+2p_{1})\tau },\ c\sim e^{\Lambda (p_{3}+2p_{1})\tau },\ t\sim e^{\Lambda (1+2p_{1})\tau }.$

將 a、b、c 表示為 t 的函式，得到

$a\sim t^{p'_{l}},b\sim t^{p'_{m}},c\sim t^{p'_{n}}$ (eq. 34)

其中

$p'_{l}={\frac {|p_{1}|}{1-2|p_{1}|}},p'_{m}=-{\frac {2|p_{1}|-p_{2}}{1-2|p_{1}|}},p'_{n}={\frac {p_{3}-2|p_{1}|}{1-2|p_{1}|}}.$ (eq. 35)

那麼

$abc=\Lambda 't,\ \Lambda '=(1-2|p_{1}|)\Lambda .$ (eq. 36)

以上表明擾動以這樣的方式作用：它將一種卡斯納模式改變為另一種卡斯納模式，在這個過程中，t 的負冪從方向 l 翻轉到方向 m：如果之前是 p_l < 0，現在是 p'_m < 0。在此變化期間，函式 a(t) 透過一個最大值，b(t) 透過一個最小值；b 在之前是遞減的，現在是遞增的：a 從遞增變成遞減；遞減的 c(t) 進一步遞減。擾動本身（(eq. 29) 中的 λ²a^4α），之前是遞增的，現在開始遞減並消失。進一步的演化類似地導致 (eq. 26) 中 μ²（而不是 λ²）項的擾動增加，然後是卡斯納模式的再次變化，等等。

用引數化 (eq. 5) 可以方便地寫出冪替換規則 (eq. 35)

${\begin{matrix}\mathrm {if} &p_{l}=p_{1}(u)&p_{m}=p_{2}(u)&p_{n}=p_{3}(u)\\\mathrm {then} &p'_{l}=p_{2}(u-1)&p'_{m}=p_{1}(u-1)&p'_{n}=p_{3}(u-1)\end{matrix}}$ (eq. 37)

兩個正冪中較大的那個仍然是正的。

BKL 將方向之間的負冪翻轉稱為 卡斯納紀元。理解度規演化接近奇點特徵的關鍵正是這種卡斯納紀元交替，並根據規則 (eq. 37) 翻轉冪 p_l、p_m、p_n。

負冪 p₁ 在方向 l 和 m 之間翻轉的連續交替 (eq. 37)（卡斯納紀元）透過耗盡初始 u 的整數部分而持續進行，直到 u < 1 的時刻。根據 (eq. 6)，u < 1 轉換為 u > 1；在這個時刻，負冪是 p_l 或 p_m，而 p_n 成為兩個正數中較小的那個 (p_n = p₂)。然後，下一系列卡斯納紀元將負冪在方向 n 和 l 之間翻轉，或者在方向 n 和 m 之間翻轉。在任意的（無理數）初始值 u 處，這種交替過程無限期地繼續。^[28]

在愛因斯坦方程的精確解中，冪 p_l、p_m、p_n 失去了它們原來的精確意義。這種情況在確定這些數字（以及與它們一起的引數 u）時引入了一些“模糊性”，儘管這種模糊性很小，但它使對 u 的任何確定值（例如，有理數）的分析毫無意義。因此，只有那些與 u 的任意無理數相關聯的規律才具有特定的意義。

沿著兩個軸的空間距離尺度振盪而沿著第三軸的距離單調遞減的較長週期稱為 紀元；體積按照接近 ~ t 的規律遞減。從一個紀元過渡到下一個紀元，距離單調遞減的方向從一個軸翻轉到另一個軸。這些過渡的順序獲得了隨機過程的漸近特徵。相同的隨機順序也是連續紀元長度交替的特徵（BKL 認為紀元長度是紀元包含的卡斯納紀元數量，而不是時間間隔）。

紀元序列在接近 t = 0 時變得更加密集。然而，描述這種演化時間程序的自然變數不是世界時間 t，而是它的對數 ln t，透過它，到達奇點的整個過程擴充套件到 −∞。

根據 (eq. 33)，在卡斯納紀元之間的過渡期間透過一個最大值的函式 a、b、c 之一在其最大值峰值處為

$a_{\max }={\sqrt {2\Lambda |p_{1}(u)|}}$ (eq. 38)

假設 a_max 比 b₀ 和 c₀ 大得多；在 (eq. 38) 中，u 是過渡之前卡斯納紀元中引數的值。由此可見，每個紀元中連續最大值的峰值逐漸降低。實際上，在下一個卡斯納紀元中，這個引數的值為 u' = u - 1，Λ 按照 (eq. 36) 替換為 Λ' = Λ(1 − 2|p₁(u)|)。因此，兩個連續最大值的比率為

${\frac {a'_{\max }}{a_{\max }}}=\left[{\frac {p_{1}(u-1)}{p_{1}(u)}}\left(1-2|p_{1}(u)|\right)\right]^{\frac {1}{2}};$

最後

${\frac {a'_{\max }}{a_{\max }}}={\sqrt {\frac {u-1}{u}}}\equiv {\sqrt {\frac {u'}{u}}}.$ (公式 39)

以上是真空中的愛因斯坦方程的解。至於純粹的卡斯納模式，物質不會改變該解的定性性質，可以將其寫成它，而不考慮它對場的反應。

然而，如果對正在討論的模型進行這樣的操作，將其理解為愛因斯坦方程的精確解，那麼由此產生的物質演化圖景將不具有普遍性，並且對於當前模型固有的高對稱性來說是特定的。在數學上，這種特異性與這裡討論的齊次空間幾何的事實有關，即黎曼張量分量 $\scriptstyle {R_{\alpha }^{0}}$ 恆等於零，因此愛因斯坦方程不允許物質運動（這會導致非零的應力能動量張量分量 $\scriptstyle {T_{\alpha }^{0}}$）。

如果模型中只包含極限 (當 t → 0) 度量的主要項，並在其中寫入具有任意初始密度和速度分佈的物質，則可以避免這種困難。然後物質的演化過程由其一般的運動定律（公式 17）和（公式 18）決定，從而導致（公式 21）。在每個卡斯納紀元中，密度按以下規律增加

$\varepsilon =t^{-2(1-p_{3})},$ (公式 40)

其中 p₃ 是如上所述，數字 p₁、p₂、p₃ 中最大的一個。在所有演化過程中，物質密度單調增加，直到奇點。

對於每個紀元（第 s 個紀元），引數 u 有一系列值，從最大的值 $\scriptstyle {u_{\max }^{(s)}}$ 開始，並經過值 $\scriptstyle {u_{\max }^{(s)}}$ − 1、$\scriptstyle {u_{\max }^{(s)}}$ − 2，..., 直到最小的值，$\scriptstyle {u_{\min }^{(s)}}$ < 1。那麼

$u_{\min }^{(s)}=x^{(s)},\ u_{\max }^{(s)}=k^{(s)}+x^{(s)},$ (公式 41)

也就是說，k^(s) = [$\scriptstyle {u_{\max }^{(s)}}$]，其中方括號表示值的整數部分。數字k^(s)是紀元長度，以紀元包含的卡斯納時期的數量來衡量。對於下一個紀元，

$u_{\max }^{(s+1)}={\frac {1}{x^{(s)}}},\ k^{(s+1)}=\left[{\frac {1}{x^{(s)}}}\right].$ (公式 42)

在由這些規則組成的u數的無限序列中，存在無限小的（但絕不為零）值x^(s)，以及相應地無限大的長度k^(s)。

度量演化

非常大的u值對應於卡斯納冪

$p_{1}\approx -{\frac {1}{u}},\ p_{2}\approx {\frac {1}{u}},\ p_{2}\approx 1-{\frac {1}{u^{2}}},$ (公式 43)

這些值接近（0, 0, 1）。兩個接近零的值也彼此接近，因此三種“擾動”型別中（公式 26 右側的 λ、μ 和 ν 項）的兩者的變化也非常相似。如果在如此長紀元的開始，這些項在兩個卡斯納時期之間的過渡時刻（或透過分配初始條件人為地使其如此）在絕對值上非常接近，那麼它們將在整個紀元的大部分長度內保持接近。在這種情況下（BKL 稱之為小振盪的情況），基於一種擾動型別作用的分析變得不正確；必須考慮兩種擾動型別的同時影響。

兩種擾動

考慮一個長紀元，在這段時間內，a、b、c 三個函式中的兩個（假設它們是a 和 b）經歷微小振盪，而第三個函式（c）單調下降。後一個函式很快變得很小；考慮僅在可以忽略c 與a 和 b 相比的區域內的解。首先透過相應地代入 λ = μ = ν = 1 來計算 IX 型空間模型。^[20]

忽略函式c 後，前兩個方程 (公式 26) 給出

$\alpha _{\tau \tau }+\beta _{\tau \tau }=0,\,$ (公式 44)

$\alpha _{\tau \tau }-\beta _{\tau \tau }=e^{4\beta }-e^{4\alpha },\,$ (公式 45)

以及作為第三個方程，可以使用 (公式 28)，它採用以下形式

$\gamma _{\tau \tau }\left(\alpha _{\tau \tau }+\beta _{\tau \tau }\right)=-\alpha _{\tau }\beta _{\tau }+{\frac {1}{4}}\left(e^{2\alpha }-e^{2\beta }\right)^{2}.$ (公式 46)

公式 44 的解寫成以下形式

$\alpha +\beta =\left({\frac {2a_{0}^{2}}{\xi _{0}}}\right)\left(\tau -\tau _{0}\right)+2\ln a_{0},$

其中 α₀、ξ₀ 是正常數，τ₀ 是變數 τ 時代的上限。為了方便起見，我們引入一個新的變數 (代替 τ)

$\xi =\xi _{0}\exp \left[{\frac {2a_{0}^{2}}{\xi _{0}}}\left(\tau -\tau _{0}\right)\right].$ (eq. 47)

那麼

$\alpha +\beta =\ln \left({\frac {\xi }{\xi _{0}}}\right)+2\ln a_{0}.$ (eq. 48)

透過引入變數 χ = α − β，方程 (eq. 45) 和 (eq. 46) 被轉化為

$\chi _{\xi \xi }={\frac {\chi _{\xi }}{\xi }}+{\frac {1}{2}}\operatorname {sh} 2\chi =0,$ (eq. 49)

$\gamma _{\xi }=-{\frac {1}{4}}\xi +{\frac {1}{8}}\xi \left(2\chi _{\xi }^{2}+\operatorname {ch} 2\chi -1\right).$ (eq. 50)

τ 從 τ₀ 減少到 −∞ 對應於 ξ 從 ξ₀ 減少到 0。這裡考慮的長時代，具有接近的 a 和 b (即，具有小的 χ)，是在 ξ₀ 是一個非常大的量的情況下得到的。事實上，在 ξ 很大時，(eq. 49) 的解在一階近似為 1/ξ，可表示為

$\chi =\alpha -\beta =\left({\frac {2A}{\sqrt {\xi }}}\right)\sin \left(\xi -\xi _{0}\right),$ (eq. 51)

其中 A 是常數；乘數 ${\tfrac {1}{\sqrt {\xi }}}$ 使 χ 成為一個小量，因此它可以在 (eq. 49) 中被 sh 2χ ≈ 2χ 所替代。

從 (eq. 50) 中可以得到

$\gamma _{\xi }={\frac {1}{4}}\xi \left(2\chi _{\xi }^{2}+\chi ^{2}\right)=A^{2},\ \gamma =A^{2}\left(\xi -\xi _{0}\right)+\mathrm {const} .$

透過根據上述近似從 (eq. 48) 和 (eq. 51) 中確定 α 和 β 並將 e^α 和 e^β 展開成級數，最終得到

${\begin{cases}a\\b\end{cases}}=a_{0}{\sqrt {\frac {\xi }{\xi _{0}}}}\left[1\pm {\frac {A}{\sqrt {\xi }}}\sin \left(\xi -\xi _{0}\right)\right],$ (eq. 52)

$c=c_{0}e^{-A^{2}\left(\xi _{0}-\xi \right)}.$ (公式 53)

透過對定義dt = abc dτ積分，得到變數 ξ 和時間 t 之間的關係。

${\frac {t}{t_{0}}}=e^{-A^{2}\left(\xi _{0}-\xi \right)}.$ (公式 54)

常數 c₀（с 在 ξ = ξ₀ 時的值）現在應為 c₀ $\scriptstyle {\ll }$ α₀。

現在考慮 ξ $\scriptstyle {\ll }$ 1 的域。在這裡，（公式 49）解的主要項為：

$\chi =\alpha -\beta =k\ln \xi +\mathrm {const} ,\,$

其中 k 是一個常數，在 − 1 < k < 1 的範圍內；這個條件確保了（公式 49）中的最後一項很小（sh 2χ 包含 ξ^2k 和 ξ^−2k）。然後，在確定 α、β 和 t 後，得到

$a\sim \xi ^{\frac {1+k}{2}},\ b\sim \xi ^{\frac {1-k}{2}},\ c\sim \xi ^{-{\frac {1-k^{2}}{4}}},\ t\sim \xi ^{\frac {3+k^{2}}{4}}.$ (公式 55)

這又是一個卡斯納模式，其中負 t 冪進入了函式 c(t) 中。

這些結果描繪了一種與上面描述的演化在質量上相似的演化。在一段對應於 ξ 值大幅下降的長時期內，兩個函式 a 和 b 會振盪，其大小保持接近${\tfrac {a-b}{a}}\sim {\tfrac {1}{\sqrt {\xi }}}$；同時，a 和 b 兩個函式都緩慢地（$\scriptstyle {\sim {\sqrt {\xi }}}$）減小。振盪週期由變數 ξ 恆定：Δξ = 2π（或者，同樣地，以對數時間為恆定週期：Δ ln t = 2πΑ²）。第三個函式 c 按照接近 c = c₀t/t₀ 的規律單調遞減。

這種演化持續到 ξ ~ 1，此時（公式 52）和（公式 53）不再適用。其持續時間對應於 t 從 t₀ 變化到 t₁ 的值，根據

$A^{2}\xi _{0}=\ln {\frac {t_{0}}{t_{1}}}.$ (公式 56)

在此期間，ξ 和 t 之間的關係可以表示為

${\frac {\xi }{\xi _{0}}}={\frac {\ln {\tfrac {t}{t_{1}}}}{\ln {\tfrac {t_{0}}{t_{1}}}}}.$ (公式 57)

在那之後，從（公式 55）可以看出，遞減函式 c 開始增加，而函式 a 和 b 開始減小。這個卡斯納紀元持續到（公式 22）中的 c²/a²b² 項變為 ~ t²，然後開始下一輪振盪。

討論中的長紀元期間，密度變化的規律是透過將（公式 52）代入（公式 20）得到的。

$\varepsilon \sim \left({\frac {\xi _{0}}{\xi }}\right)^{2}.$ (公式 58)

當 ξ 從 ξ₀ 變化到 ξ ~ 1 時，密度增加 $\scriptstyle {\xi _{0}^{2}}$ 倍。

必須強調，儘管函式 c(t) 遵循接近 c ~ t 的規律變化，但度規（公式 52）並不對應於具有冪（0, 0, 1）的卡斯納度規。後者對應於由公式 26-27 允許的精確解（由 Taub 發現），其中

$a^{2}=b^{2}={\frac {p}{2}}{\frac {\mathrm {ch} (2p\tau +\delta _{1})}{\mathrm {ch} ^{2}(p\tau +\delta _{2})}},\;c^{2}={\frac {2p}{\mathrm {ch} (2p\tau +\delta _{1})}},$（公式 59）

其中 p、δ₁、δ₂ 為常數。在漸近區域 τ → −∞ 時，透過代入 е^рτ = t，可以從這裡得到 a = b = const，c = const.t。在這個度規中，t = 0 處的奇點是非物理的。

現在讓我們描述對 VIII 型模型的類似研究，在公式 26-28 中代入 λ = −1，μ = ν = 1。

如果在漫長的時代中，單調遞減的函式是 a，那麼前面的分析不會有任何改變：忽略公式（26）和（28）右邊 a²，會回到相同的公式（49）和（50）（符號有所改變）。然而，如果單調遞減的函式是 b 或 c，那麼情況會有些變化；假設它是 c。

與之前一樣，有公式（49），符號相同，因此，函式 a(ξ) 和 b(ξ) 的先前表示式（52）仍然成立，但公式（50）被替換為

$\gamma _{\xi }=-{\frac {1}{4}}\xi +{\frac {1}{8}}\xi \left(2\chi _{\xi }^{2}+\mathrm {ch} 2\chi +1\right).$（公式 60）

現在， ξ 很大時的主要項變為

$\gamma _{\xi }\approx {\frac {1}{8}}\xi \cdot 2,\quad \gamma \approx {\frac {1}{8}}\left(\xi ^{2}-\xi _{0}^{2}\right),$

因此

${\frac {c}{c_{0}}}={\frac {t}{t_{0}}}=e^{-{\frac {1}{8}}\left(\xi _{0}^{2}-\xi ^{2}\right)}.$（公式 61）

c 作為時間 t 的函式值，與之前一樣是 c = c₀t/t₀，但 ξ 對時間的依賴關係發生了變化。漫長時代的長度根據 ξ₀ 確定，如下所示

$\xi _{0}={\sqrt {8\ln {\frac {t}{t_{0}}}}}.$（公式 62）

另一方面，ξ₀ 的值決定了函式 a 和 b 在一個時代中的振盪次數（等於 ξ₀/2π）。對於給定的對數時間時代的長度（即，給定的 t₀/t₁ 比值），VIII 型的振盪次數通常會比 IX 型少。現在，對於振盪週期，我們得到 Δ ln t = πξ/2；與 IX 型不同，週期在整個漫長時代並非恆定，而是隨著 ξ 的減小而緩慢減小。

小時間域

如上所示，漫長時代違反了演化的“規律”過程；這一事實使得研究涵蓋多個時代的 時間間隔的演化變得困難。然而，可以證明，這種“異常”情況出現在模型從具有任意初始條件的起點自發演化到奇點的過程中，時間 t 漸近地趨於零，同時距離起點足夠遠。即使在漫長時代中，兩個振盪函式在卡斯納紀元之間轉換時仍然差異很大，以至於轉換是在只有一個擾動影響下發生的。本節的所有結果都同樣適用於 VIII 型和 IX 型模型。

在每個卡斯納紀元中，abc = Λt，即 α + β + γ = ln Λ + ln t。在紀元之間轉換時，常數 ln Λ 會發生一階變化（參見公式 36）。然而，在 |ln t| 值漸近地趨於非常大的情況下，不僅可以忽略這些變化，還可以忽略常數 ln Λ 本身。換句話說，這種近似相當於忽略所有與 |ln t| 的比率在 t → 0 時收斂於零的值。那麼

$\alpha +\beta +\gamma =-\Omega ,\,$（公式 63）

其中 Ω 是“對數時間”。

$\Omega =-\ln t.\,$ (公式 64)

在這個近似中，紀元轉換的過程可以看作一系列短暫的時間閃光。定義轉換週期的條件 (公式 38) 右側常數 α_max = ½ ln (2|p₁|Λ) 也可以忽略，即 該條件變為 α = 0（或類似條件對於 β 或 γ，如果初始負冪與函式 b 或 c 相關）。 因此，α_max、β_max 和 γ_max 變為零，意味著 α、β 和 γ 將只通過負值執行，這些負值在每一時刻透過關係 (公式 64) 相關聯。

圖 2

考慮到這種紀元的瞬時變化，與紀元長度相比，過渡週期被忽略為很小；這一條件實際上得到了滿足。 用零替換 α、β 和 γ 最大值要求量 ln (|p₁|Λ) 與相應函式振盪的幅度相比很小。如 上面 所述，在紀元之間轉換期間，|p₁| 值可能會變得非常小，而它們的大小和發生的機率與相應時刻的振盪幅度無關。因此，原則上，有可能達到非常小的 |p₁| 值，以至於上述條件（最大值零）被違反。這種 α_max 的急劇下降會導致各種特殊情況，在這種情況下，根據規則 (公式 37) 進行的卡斯納紀元之間的轉換變得不正確（包括 上面 描述的情況），另見 ）。這些“危險”情況可能會破壞用於下面統計分析的定律。然而，正如所提到的，這種偏差的機率漸近地收斂為零；這個問題將在下面討論。

考慮一個包含 k 個卡斯納紀元的紀元，其中引數 u 遍歷值

$u_{n}=k+x-1-n,\quad n=0,1,\cdots ,k-1,$ (公式 65)

並設 α 和 β 是這個紀元期間的振盪函式（圖 2）。

具有引數 u_n 的卡斯納紀元的初始時刻為 Ω_n。在每個初始時刻，α 或 β 的值之一為零，而另一個則具有最小值。在連續的最小值中，即在時刻 Ω_n 中的 α 或 β 值為

$\alpha _{n}=-\delta _{n}\Omega _{n}\,$ (公式 66)

（不區分 α 和 β 的最小值）。在各自的 Ω_n 單位中測量這些最小值的 δ_n 值可以在 0 到 1 之間執行。函式 γ 在這個紀元期間單調遞減；根據 (公式 63)，其在時刻 Ω_n 的值為

$\gamma _{n}=-\Omega _{n}(1-\delta _{n}).\,$ (公式 67)

在從時刻 Ω_n 開始到時刻 Ω_n+1 結束的紀元期間，α 或 β 之一分別從 -δ_nΩ_n 增加到零，而另一個則從 0 減少到 -δ_n+1Ω_n+1，遵循線性定律

$\mathrm {const} +|p_{1}(u_{n})|\Omega \,$ 和 $\mathrm {const} -p_{2}(u_{n})\Omega \,$

導致遞迴關係

$\delta _{n+1}\Omega _{n+1}={\frac {1+u_{n}}{u_{n}}}\delta _{n}\Omega _{n}={\frac {1+u_{0}}{u_{n}}}\delta _{0}\Omega _{0}$ (公式 68)

以及對於對數紀元長度

$\Delta _{n+1}\equiv \Omega _{n+1}-\Omega _{n}={\frac {f(u_{n})}{u_{n}}}\delta _{n}\Omega _{n}={\frac {f(u_{n})(1+u_{n-1})}{f(u_{n-1})u_{n}}}\Delta _{n},$ (eq. 69)

其中，簡而言之，f(u) = 1 + u + u²。n 個紀元的長度之和由以下公式得到

$\Omega _{n}-\Omega _{0}=\left[n(n-1)+{\frac {nf(u_{n-1})}{u_{n-1}}}\right]\delta _{0}\Omega _{0}.$ (eq. 70)

可以從 (eq. 68) 中看出 |α_n+1| > |α_n|，即函式 α 和 β 的振盪幅度在整個時代都在增加，儘管因子 δ_n 可能很小。如果一個時代開始時的最小值很深，那麼下一個最小值就不會變得更淺；換句話說，在卡斯納紀元之間過渡時的殘差 |α — β| 保持很大。這個斷言並不依賴於時代長度 k，因為紀元之間的過渡由共同規則 (eq. 37) 決定，對於長時代也是如此。

函式 α 或 β 在給定時代中的最後一次振盪幅度與第一次振盪的幅度之間存在關係 |α_k-1| = |α₀| (k + x) / (1 + x)。即使在 k 只有幾個單位的情況下，與 k 相比，x 也可以忽略不計，因此 α 和 β 振盪幅度的增加與時代長度成正比。對於函式 a = e^α 和 b = e^β，這意味著如果它們在時代開始時的振盪幅度為 A₀，那麼在這個時代的結束時，幅度將變為 $\scriptstyle {A_{0}^{k/(1+x)}}$.

卡斯納紀元的長度（以對數時間計）在給定時代內也會增加；從 (eq. 69) 中很容易計算出 Δ_n+1 > Δ_n. 整個時代的總長度為

$\Omega _{0}^{'}-\Omega _{0}\equiv \Omega _{k}-\Omega _{0}=k\left(k+x+{\frac {1}{x}}\right)\delta _{0}\Omega _{0}$ (eq. 71)

（1/x 的項來自最後一個 k 紀元，其長度在 x 很小的情況下很大；參見圖 2）。給定時代結束時的時刻 Ω_n 同時也是下一個時代開始時的時刻 Ω'₀。

在新時代的第一個卡斯納紀元中，函式 γ 是第一個從上一個時代達到的最小值 γ_k = - Ω_k (1 - δ_k) 上升的函式；這個值對新的振盪序列起著起始幅度 δ'₀Ω'₀ 的作用。很容易得到

$\delta _{0}^{\prime }\Omega _{0}^{\prime }=\left(\delta _{0}^{-1}+k^{2}+kx-1\right)\delta _{0}\Omega _{0}.$ (eq. 72)

很明顯，δ'₀Ω'₀ > δ₀Ω₀。即使在 k 不很大的情況下，幅度增加也很明顯：函式 c = e^γ 開始從幅度 $\scriptstyle {A_{0}'\sim A_{0}^{k^{2}}}$ 振盪。關於上面提到的上振盪極限大幅降低的“危險”情況，現在暫且放在一邊。

根據 (eq. 40)，在第一個 (k - 1) 個紀元中，物質密度的增加由以下公式給出

$\ln \left({\frac {\varepsilon _{n+1}}{\varepsilon _{n}}}\right)=2\left[1-p_{3}(u_{n})\right]\Delta _{n+1}.$

對於給定時代中的最後一個 k 紀元，應該考慮到在 u = x < 1 時，最大的冪是 p₂(x)（而不是 p₃(x)）。因此，對於整個時代的密度增加，得到

$\ln \left({\frac {\varepsilon _{k}}{\varepsilon _{0}}}\right)\equiv \ln \left({\frac {\varepsilon _{0}'}{\varepsilon _{0}}}\right)=2(k-1+x)\delta _{0}\Omega _{0}.$ (公式 73)

因此，即使在不太大的 k 值下，$\scriptstyle {\varepsilon _{0}'/\varepsilon _{0}\sim A_{0}^{2k}}$。在下一個時期（長度為 k '）中，密度將由於初始振幅 A₀' 的增加而更快地增加：$\scriptstyle {\varepsilon _{0}''/\varepsilon _{0}'\sim A_{0}'^{2k''}\sim A_{0}^{2k^{2}k'}}$，等等。這些公式說明了物質密度的急劇增加。

奇點附近的統計分析

時期長度 k^(s) 的排序順序，用其中包含的卡斯納時期的數量來衡量，表現出隨機過程的特點。這種隨機性的來源是規則 (公式 41-42)，根據該規則，從一個時期到下一個時期的過渡是由 u 值的無限數字序列決定的。

在對該序列的統計描述中，BKL 考慮了 x⁽⁰⁾ 的值，這些值不是固定的初始值 u_max = k⁽⁰⁾ + x⁽⁰⁾，而是根據某種機率分佈規律在 0 到 1 的區間內分佈。然後，結束每個（第 s 個）數字序列的 x^(s) 值也將會根據某些規律分佈。可以證明，隨著 s 的增大，這些分佈收斂到一個確定的靜態（與 s 無關）的機率分佈 w(x)，其中初始條件被完全“遺忘”

$w(x)={\frac {1}{(1+x)\ln 2}}.$ (公式 74)

這使得可以找到長度 k 的機率分佈

$W(k)=\left(\ln 2\right)^{-1}\ln \left[\left(k+1\right)^{2}/k(k+2)\right].$ (公式 75)

上述公式是研究模型演化的統計特性的基礎。

這項研究由於分佈函式 (公式 75) 在較大的 k 下緩慢減小而變得複雜

$W(k)\approx 1/k^{2}\ln 2.$ (公式 76)

從該分佈計算得出的平均值 $\scriptstyle {\bar {k}}$ 以對數方式發散。對於一個以非常大但仍然有限的數字 N 截斷的序列，我們有 $\scriptstyle {{\bar {k}}\sim \ln N}$。由於其不穩定性，平均值在這種情況下非常有限：由於 W(k) 的緩慢下降，k 的波動比其平均值更快地發散。該序列的一個更合適的特徵是隨機選擇的數字屬於長度為 K 的序列的機率，其中 K 很大。此機率為 lnK/lnN。如果 $\scriptstyle {1\ll K\ll N}$，它很小。在這方面，可以說從給定序列中隨機選擇的數字以很高的機率屬於長序列。

定義時代之間過渡的遞迴公式如下重新編寫和詳細說明。索引 s 為連續的時代（不是給定時代中的卡斯納紀元！）編號，從定義為初始的某個時代 (s = 0) 開始。Ω^(s) 和 ε^(s) 分別是第 s 個時代的初始時刻和初始物質密度；δ_sΩ_s 是在給定時代振盪的那對函式 α、β、γ 的初始振盪幅度：k^(s) 是第 s 個時代的長度，x^(s) 根據 k^(s+1) = [1/x^(s)] 確定下一個時代的長度。根據（式 71-73）

$\Omega ^{(s+1)}/\Omega ^{(s)}=1+\delta ^{(s)}k^{(s)}\left(k^{(s)}+x^{(s)}+1/x^{(s)}\right)\equiv \varepsilon ^{\xi _{s}},$ （式 77）

$\delta ^{(s+1)}=1-{\frac {\left(k^{(s)}/x^{(s)}+1\right)\delta ^{(s)}}{1+\delta ^{(s)}k^{(s)}\left(1+x^{(s)}+1/x^{(s)}\right)}},$ （式 78）

$\ln \left(\varepsilon ^{(s+1)}/\varepsilon ^{(s)}\right)=2\left(k^{(s)}+x^{(s)}-1\right)\delta ^{(s)}\Omega ^{(s)}$ （式 79）

（ξ_s 在（式 77）中引入，以便進一步使用）。

δ^(s) 的值（範圍從 0 到 1）具有自身的靜態統計分佈。它滿足一個積分方程，該方程表達了透過（式 78）相關的 δ^(s) 和 δ^(s+1) 具有相同分佈的事實；該方程可以數值求解（參見 ）。由於（式 78）不包含奇點，因此分佈是完全穩定的；透過它計算的 δ 或其冪的平均值是確定的有限數字。特別是，δ 的平均值為 $\scriptstyle {{\bar {\delta }}=0.52.}$。

透過重複應用（式 77），可以找到大的時間間隔 Ω 與它們包含的時代數量 s 之間的統計關係

$\Omega ^{(s)}/\Omega ^{(0)}=\exp \left(\sum _{p=0}^{s-1}\xi _{p}\right).$ （式 80）

然而，直接對該方程進行平均沒有意義：由於函式W(k) 緩慢下降，exp(ξ_s) 的平均值在上述意義上是不穩定的。這種不穩定性可以透過取對數來消除：“雙對數”時間間隔

$\tau _{s}\equiv \ln \left(\Omega ^{(s)}/\Omega ^{(0)}\right)=\sum _{p=0}^{s-1}\xi _{p}$ (式81)

用具有穩定統計分佈的 ξ_p 值的總和來表示。 ξ_s 的平均值及其冪（從值 x、k 和 δ 的分佈中計算）是有限的；數值計算得到 $\scriptstyle {{\bar {\xi }}=2.1,\quad {\bar {\xi }}^{2}=6.8.}$

在給定的 s 上對 (式81) 進行平均得到

${\bar {\tau }}_{s}=2.1s,$ (式82)

它確定包含 s 個連續紀元的平均雙對數時間間隔。

為了計算該值的均方根波動，寫出

${\overline {\left(\tau _{s}-{\bar {\tau }}_{s}\right)^{2}}}=\sum _{p,q=0}^{s-1}\left({\overline {\xi _{p}\xi }}_{q}-{\bar {\xi }}_{p}{\bar {\xi }}_{q}\right)=s\sum _{p=0}^{s-1}\left({\overline {\xi _{0}\xi }}_{p}-{\bar {\xi }}^{2}\right).$

在最後一個方程中，考慮到在靜態極限下，ξ^(s) 和 ξ′^(s) 之間的統計相關性僅取決於 | s - s′ | 的差值。由於 x^(s)、k^(s)、δ^(s) 和 x^(s+1)、k^(s+1)、δ^(s+1) 之間存在遞迴關係，這種相關性嚴格來說是不同於零的。然而，它隨著 | s - s′ | 的增加而迅速下降，數值計算表明，即使在 | s - s′ | = 1 時，$\scriptstyle {{\overline {\xi _{s+1}\xi }}_{s}-{\bar {\xi }}^{2}}$ = − 0.4。保留 p 之和中的前兩項，得到

${\overline {\left[\left(\tau _{s}-{\bar {\tau }}_{s}\right)^{2}\right]}}^{1/2}=1.4{\sqrt {s}},$ (式83)

因此，在 s → ∞ 時，相對波動（即均方根波動（式83）與平均值（式82）的比值）隨著 s^-1/2 趨近於零。換句話說，在較大的 s 時，統計關係 (式82) 接近確定性。這是一個推論，根據 (式81) τ_s 可以表示為大量準獨立加性的總和（即，它與宏觀物體加性熱力學性質值確定性的起源相同）。因此，各種 τ_s 值的機率（在給定的 s 時）服從高斯分佈

$\rho (\tau _{s})\propto \exp \left\{-\left(\tau _{s}-2.1s\right)^{2}/4s\right\}.$ (式84)

關係的確定性（公式 82）允許其反轉，即將其表示為雙對數時間 τ 的給定區間內平均時代數 $\scriptstyle {{\bar {s}}_{\tau }}$ 的依賴關係。

${\bar {s}}_{\tau }=0.47\tau .$ (公式 85)

相應的統計分佈由相同的正態分佈給出，其中隨機變數現在是給定 τ 時 的 s_τ。

$\rho (s_{\tau })\propto \exp \left\{-\left(s_{\tau }-0.47\tau \right)^{2}/0.43\tau \right\}.$ (公式 86)

關於物質密度，（公式 79）可以考慮到（公式 80）以以下形式改寫

$\ln \ln {\frac {\varepsilon ^{(s+1)}}{\varepsilon ^{(s)}}}=\eta _{s}+\sum _{p=0}^{s-1}\xi _{p},\quad \eta _{s}=\ln \left[2\delta ^{(s)}\left(k^{(s)}+x^{(s)}-1\right)\Omega ^{(0)}\right]$

然後，對於 s 個時代期間的完整能量變化，

$\ln \ln {\frac {\varepsilon ^{(s)}}{\varepsilon ^{(0)}}}=\ln \sum _{p=0}^{s-1}\exp \left\{\sum _{q=0}^{p}\xi _{q}+\eta _{p}\right\}.$$\ln \ln {\frac {\varepsilon ^{(s)}}{\varepsilon ^{(0)}}}=\ln \sum _{p=0}^{s-1}\exp \left\{\sum _{q=0}^{p}\xi _{q}+\eta _{p}\right\}.$ (公式 87)

包含 p 的求和項對該表示式的貢獻最大，因為它包含一個具有較大冪的指數。只保留這一項並對（公式 87）取平均，在其右側獲得表示式 $\scriptstyle {s{\bar {\xi }}}$，這與（公式 82）一致；求和中的所有其他項（以及冪中含有 η_s 的項）只會導致相對大小為 1/s 的修正。因此

${\overline {\ln \ln \left(\varepsilon ^{(s)}/\varepsilon ^{(0)}\right)}}={\overline {\ln \left(\Omega ^{(s)}/\Omega ^{(0)}\right)}}.$ (公式 88)

由於上述建立了 τ_s 與 s 之間關係的幾乎確定性特徵，因此（公式 88）可以寫成

${\overline {\ln \ln \left(\varepsilon _{\tau }/\varepsilon ^{(0)}\right)}}=\tau \quad {\text{or}}\quad {\overline {\ln \ln \left(\varepsilon ^{(s)}/\varepsilon ^{(0)}\right)}}=2.1s,$

這決定了由給定的雙對數時間間隔 τ 或給定的時代數 s 平均得到的密度增加的雙對數的值。

這些穩定的統計關係專門存在於雙對數時間間隔和密度增加的情況下。對於其他特徵，例如 ln (ε^(s)/ε⁽⁰⁾)，相對波動隨著平均範圍的增加而按冪律增加，從而使平均值的意義失去穩定性。

如下所示，在極限漸近情況下，上述“危險”情況（擾亂由遞迴關係（公式 77-79）表示的演化規律程序）在現實中不會發生。

危險的是在時代結束時引數 u = x（以及 |p₁| ≈ x）的值。選擇這些情況的標準是不等式

$x^{(s)}\exp |\alpha ^{(s)}|<1,\,$ (公式 89)

其中 | α^(s) | 是第 s 個紀元中振盪函式的初始極小值深度（最好是取最終振幅，但這隻會加強選擇標準）。

第一個紀元中 x⁽⁰⁾ 的值由初始條件決定。危險的是 δx⁽⁰⁾ ~ exp ( − | α⁽⁰⁾ | ) 區間內的值，以及可能導致下一紀元出現危險情況的區間。為了使 x^(s) 進入危險區間 δx^(s) ~ exp ( − | α^(s) | )，初始值 x⁽⁰⁾ 應該落在寬度為 δx⁽⁰⁾ ~ δx^(s) / k^{(1)^2} ... k^{(s)^2} 的區間內。^[40] 因此，在所有可能的 x⁽⁰⁾ 值的單位區間中，危險情況將出現在該區間中的 λ 部分

$\lambda =\exp \left(|-\alpha ^{(s)}|\right)+\sum _{s=1}^{\infty }\sum _{k}{\frac {\exp \left(|-\alpha ^{(s)}|\right)}{k^{(1)^{2}}k^{(2)^{2}}\cdot \cdot \cdot k^{(s)^{2}}}}$ (公式 90)

（內層求和由 k⁽¹⁾、k⁽²⁾、...、k^(s) 從 1 到 ∞ 的所有值求得）。很容易證明這個級數收斂於 λ $\scriptstyle {\ll }$ 1 的值，其數量級由 (公式 90) 中的第一項決定。這可以透過對級數進行強有力的大小估計來證明，其中將 | α^(s) | 替換為 (s+1) | α⁽⁰⁾ |，而不管紀元長度 k⁽¹⁾、k⁽²⁾、...（實際上，| α^(s) | 的增長速度快得多；即使在最不利的情況下 k⁽¹⁾ = k⁽²⁾ = ... = 1，| α^(s) | 的值也以 q^s | α⁽⁰⁾ | 的速度增長，其中 q > 1）。注意到

$\sum _{k}1/k^{(1)^{2}}k^{(2)^{2}}\cdot \cdot \cdot k^{(s)^{2}}=\left(\pi ^{2}/6\right)^{s}$

就可以得到

$\lambda =\exp \left(|-\alpha ^{(0)}|\right)\sum _{s=0}^{\infty }\left[\left(\pi ^{2}/6\right)\exp \left(|-\alpha ^{(0)}|\right)\right]^{s}\approx \exp \left(|-\alpha ^{(0)}|\right).$

如果 x⁽⁰⁾ 的初始值位於危險區域 λ 之外，則不會出現危險情況。如果它位於此區域內，則會發生危險情況，但在完成危險情況後，模型將恢復“規則”演化，並具有新的初始值，該值只有偶爾（以機率 λ）才會進入危險區間。重複的危險情況發生的機率分別為 λ²、λ³、...，漸近收斂於零。

具有微小振盪的通解

在上述模型中，奇點附近度量演化是透過均勻空間度量示例進行研究的。從這種演化的特徵可以明顯看出，這種奇點的通解的解析構造應該針對每個基本演化成分分別進行：對於卡斯納紀元、對於由“擾動”引起的紀元之間轉換的過程、對於兩個擾動同時作用的長時間紀元。在卡斯納紀元（即在微小擾動下），度量由（公式 7）給出，而不受 λ = 0 的限制。

BKL 進一步發展了適用於長期小振盪的物質分佈無關模型（均勻或非均勻）。 該解的時間依賴性與均勻模型的特例非常相似； 後者可以透過對模型中包含的任意函式進行特殊選擇，從分佈無關模型中獲得。

然而，在與同步參考系略有不同的座標系中構建通解比較方便：g_0α = 0 與同步參考系相同，但現在g₀₀ = − g₃₃ 代替g₀₀ = 1。 再次定義空間度規張量 γ_αβ = − g_αβ，因此

$g_{00}=\gamma _{33},\quad g_{0\alpha }=0.$ (公式 91)

特殊的空間座標寫為x³ = z，時間座標寫為x⁰ = ξ（不同於固有時t）； 將證明 ξ 對應於均勻模型中定義的相同變數。 ξ 和z 的微分分別用點和撇號表示。 拉丁字母索引a，b，c 取值為 1，2，對應於空間座標x¹，x²，也寫為x，y。 因此，度規為

$ds^{2}=\gamma _{33}\left(d\xi ^{2}-dz^{2}\right)-\gamma _{ab}dx^{a}dx^{b}-2\gamma _{a3}dx^{a}dz.$ (公式 92)

所需解應滿足不等式

$\gamma _{33}\ll \gamma _{ab},$ (公式 93)

$\gamma _{a3}^{2}\ll \gamma _{aa}\gamma _{33}$ (公式 94)

（這些條件指定 a²，b²，c² 之一函式小於另外兩個函式，均勻模型也是如此）。

不等式（公式 94）意味著 γ_a3 分量在dx^a 和 dz 的任何位移比值下，空間長度元素dl² 的平方中包含dx^adz 的乘積項都可以忽略，因此，解的第一近似是具有 γ_a3 = 0 的度規（公式 92）：

$ds^{2}=\gamma _{33}\left(d\xi ^{2}-dz^{2}\right)-\gamma _{ab}dx^{a}dx^{b}.$ (公式 95)

透過計算 Ricci 張量分量$\scriptstyle {R_{0}^{0}}$，$\scriptstyle {R_{3}^{0}}$，$\scriptstyle {R_{3}^{3}}$，$\scriptstyle {R_{a}^{b}}$ 可以很容易地證明，使用度規（公式 95）和條件（公式 93），所有包含座標x^a 的導數項都遠小於包含 ξ 和z 的導數項（它們的比率約為 γ₃₃ / γ_ab）。 換句話說，要獲得主近似方程，應該對（公式 95）中的 γ₃₃ 和 γ_ab 進行微分，就像它們不依賴於x^a 一樣。 表示

$\gamma _{33}=e^{\psi },\quad {\dot {\gamma }}_{ab}=\varkappa _{ab},\quad \gamma _{ab}^{\prime }=\lambda _{ab},\quad |\gamma _{ab}|=G^{2},$ (公式 96)

可以得到以下方程：

$2e^{\psi }R_{a}^{b}=G^{-1}\left(G\lambda _{a}^{b}\right)^{\prime }-G^{-1}\left(G\varkappa _{a}^{b}\right){\dot {}}=0,$ (公式 97)

$2e^{\psi }R_{3}^{0}={\frac {1}{2}}\varkappa \psi ^{\prime }+{\frac {1}{2}}\lambda {\dot {\psi }}-\varkappa ^{\prime }-{\frac {1}{2}}\varkappa _{a}^{b}\lambda _{b}^{a}=0,$ (公式 98)

$2e^{\psi }(R_{0}^{0}-R_{3}^{3})=\lambda \psi ^{\prime }+\varkappa {\dot {\psi }}-{\dot {\varkappa }}-\lambda ^{\prime }-{\frac {1}{2}}\varkappa _{a}^{b}\varkappa _{b}^{a}-{\frac {1}{2}}\lambda _{a}^{b}\lambda _{b}^{a}=0.$ (公式 99)

這裡使用 γ_ab進行指標升降。數量 $\scriptstyle {\varkappa }$ 和 λ 是收縮 $\scriptstyle {\varkappa _{a}^{a}}$ 和 $\scriptstyle {\lambda _{a}^{a}}$，其中

$\varkappa =2{\dot {G}}/G,\quad \lambda =2G^{\prime }/G.$ (公式 100)

至於 Ricci 張量分量 $\scriptstyle {R_{a}^{0}}$，$\scriptstyle {R_{a}^{3}}$，透過這種計算它們恆等於零。在下一個近似（即考慮小的 γ_a3 和關於 x，y 的導數）中，它們透過已知的 γ₃₃ 和 γ_ab確定數量 γ_a3。

(公式 97) 的收縮得到 $\scriptstyle {G^{\prime \prime }+{\ddot {G}}=0}$，因此

$G=f_{1}(x,y,\xi +z)+f_{2}(x,y,\xi -z).\,$ (公式 101)

根據G變數的不同，可能存在不同的情況。在上述情況下，g⁰⁰ = γ³³ $\scriptstyle {\gg }$ γ^ab 且 $\scriptstyle {N\approx g^{00}\left({\dot {G}}\right)^{2}-\gamma ^{33}\left(G^{\prime }\right)^{2}=4\gamma ^{33}{\dot {f}}_{1}{\dot {f}}_{2}}$。當N > 0（量N是類時的）時，會導致我們感興趣的時間奇點。將f₁ = 1/2 ( ξ + z ) sin y，f₂ = 1/2 ( ξ - z ) sin y 代入 (eq. 101) 會得到G型別為

$G=\xi \sin y.\,$ (eq. 102)

這種選擇不會降低結論的普遍性；可以證明，僅憑變數的剩餘允許變換，就能在第一近似中實現普遍性。當N < 0（量N是類空的）時，可以代入G = z，這將推廣了著名的愛因斯坦-羅森度規。 當N = 0 時，會得到羅賓遜-邦迪波度規，它僅取決於 ξ + z 或僅取決於 ξ - z（參見 ）。(eq. 102) 中的因子 sin y 用於與齊次模型進行方便的比較。考慮到 (eq. 102)，方程 97-99 成為

${\dot {\varkappa }}_{a}^{b}+\xi ^{-1}\varkappa _{a}^{b}-{\lambda _{a}^{b}}^{\prime }=0,$ (eq. 103)

${\dot {\psi }}=-\xi ^{-1}+{\frac {1}{4}}\xi \left(\varkappa _{a}^{b}\varkappa _{b}^{a}+\lambda _{a}^{b}\lambda _{b}^{a}\right).$ (eq. 104)

$\psi ^{\prime }={\frac {1}{2}}\xi _{a}^{b}\lambda _{b}^{a}.$ (eq. 105)

主要方程是定義 γ_ab 成分的 (eq. 103)；然後，透過對 (eq. 104-105) 進行簡單的積分來求得函式 ψ。

變數 ξ 的取值範圍從 0 到 ∞。在兩個邊界 ξ $\scriptstyle {\gg }$ 1 和 $\scriptstyle {\ll }$ 1 處考慮 (eq. 103) 的解。在 ξ 值很大時，可以尋找一個以 1 / √ξ 分解形式的解

$\gamma _{ab}=\xi \left[a_{ab}(x,y,z)+O(1/{\sqrt {\xi }})\right],$ (eq. 106)

其中

$|a_{ab}|=\sin ^{2}y\,$ (eq. 107)

（方程 107 需要條件 102 成立）。將 (eq. 103) 代入 (eq. 106)，在第一階得到

${\left({a^{ac}}^{\prime }a_{bc}\right)}^{\prime }=0,$ (eq. 108)

其中數量a^ac構成一個矩陣，該矩陣是矩陣a_ac的逆矩陣。 (eq. 108) 的解的形式為

$a_{ab}=l_{a}l_{b}e^{-2\rho z}+m_{a}m_{b}e^{2\rho z},\,$ (eq. 109)

$l_{1}m_{2}+l_{2}m_{1}=\sin y,\,$ (eq. 110)

其中l_a, m_a, ρ 是座標x, y 的任意函式，受從 (eq. 107) 推匯出的條件 (eq. 110) 的約束。

為了找到此分解的更高階項，將所需量 γ_ab 的矩陣寫成以下形式比較方便

$\gamma _{ab}=\xi \left({\tilde {L}}e^{H}L\right)_{ab},$ (eq. 111)

$L={\begin{bmatrix}l_{1}e^{-\rho z}&l_{2}e^{-\rho z}\\m_{1}e^{\rho z}&m_{2}e^{\rho z}\end{bmatrix}},$ (eq. 112)

其中符號 ~ 表示矩陣轉置。 矩陣H 是對稱的，它的跡為零。 表示式 (eq. 111) 保證了 γ_ab 的對稱性，並滿足條件 (eq. 102)。 如果將 exp H 替換為 1，則從 (eq. 111) 得到 γ_ab = ξa_ab，其中 a_ab 來自 (eq. 109)。 換句話說，γ_ab 分解的第一項對應於 H = 0； 較高階項是透過矩陣 H 的冪分解得到的，矩陣 H 的分量被認為很小。

矩陣 H 的獨立分量寫成 σ 和 φ，使得

$H={\begin{bmatrix}\sigma &\varphi \\\varphi &-\sigma \end{bmatrix}}.$ (eq. 113)

將 (eq. 111) 代入 (eq. 103)，只保留關於 H 的線性項，可以推匯出 σ 和 φ 的表示式為

${\ddot {\sigma }}+\xi ^{-1}{\dot {\sigma }}-\sigma ^{\prime \prime }=0,$

${\ddot {\varphi }}+\xi ^{-1}{\dot {\varphi }}-\varphi ^{\prime \prime }+4\rho ^{2}\varphi =0.$ (eq. 114)

如果嘗試透過z 座標的傅立葉級數來找到這些方程的解，則對於作為 ξ 函式的級數係數，將得到貝塞爾方程。 解在大 ξ 處的主要漸近項為

$\sigma ={\frac {1}{\sqrt {\xi }}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left(A_{1n}e^{in\omega \xi }+B_{1n}e^{-in\omega \xi }\right)e^{in\omega z},$

$\varphi ={\frac {1}{\sqrt {\xi }}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left(A_{2n}e^{in\omega \xi }+B_{2n}e^{-in\omega \xi }\right)e^{in\omega z},$ (eq. 115)

$\omega _{n}^{2}=n^{2}\omega ^{2}+4\rho ^{2}.$

係數 *A* 和 *B* 是座標 *x*, *y* 的任意複函式，並滿足實數 σ 和 φ 的必要條件；基頻 ω 是 *x*, *y* 的任意實函式。現在從 (式 104-105) 很容易得到函式 ψ 的第一項

$\psi =\rho ^{2}\xi ^{2}\,$ (式 116)

(如果 ρ = 0，此項消失；在這種情況下，主要項是來自分解的 ξ 的線性項：ψ = ξ*q* ( *x*, *y* )，其中 *q* 是一個正函式）。

因此，在 ξ 值較大時，度量張量 γ_*ab* 的分量在 ξ 減小的情況下，以緩慢減小的背景上振盪，緩慢減小是由 (式 111) 中 ξ 因子的減小引起的。分量 γ₃₃ = *e*^ψ 按照接近 exp (ρ²ξ²) 的規律迅速減小；這使得條件 (式 93) 成為可能。

接下來，BKL 考慮 ξ $\scriptstyle {\ll }$ 1 的情況。對 (式 103) 的解的第一近似是透過假設（結果證實）得到的，即在這些方程中，可以用座標的導數項，

${\dot {\varkappa }}_{a}^{b}+\xi ^{-1}\varkappa _{a}^{b}=0.$ (式 117)

這個方程加上條件 (式 102) 得到

$\gamma _{ab}=\lambda _{a}\lambda _{b}\xi ^{2s_{1}}+\mu _{a}\mu _{b}\xi ^{2s_{2}},\,$ (式 118)

其中 λ_*a*，μ_*a*，*s*₁，*s*₂ 是所有 3 個座標 *x*, *y*, *z* 的任意函式，它們與其他條件有關

$\lambda _{1}\mu _{2}-\lambda _{2}\mu _{1}=\sin y,\quad s_{1}+s_{2}=1.\,$ (式 119)

式 104-105 現在給出

$\gamma _{33}=e^{\psi }\sim \xi ^{-(1-s_{1}^{2}-s_{2}^{2})}.\,$ (式 120)

導數 $\scriptstyle {{\lambda _{a}^{b}}^{\prime }}$，由 (式 118) 計算，包含項 ~ ξ^4*s*₁-2 和 ~ ξ^4*s*₂-2，而 (式 117) 中保留的項是 ~ ξ^-2。因此，在條件 *s*₁ > 0，*s*₂ > 0 下，允許使用 (式 103) 代替 (式 117)；因此 1 - $\scriptstyle {s_{1}^{2}-s_{2}^{2}}$ > 0。

因此，在 ξ 很小的情況下，函式 γ_*ab* 的振盪停止，而函式 γ₃₃ 在 ξ 減小的情況下開始增加。這是一個卡斯納模式，當 γ₃₃ 與 γ_*ab* 相比時，上述近似不適用。

為了檢查這種分析的相容性，BKL 研究了方程 $\scriptstyle {R_{\alpha }^{0}}$ = 0，$\scriptstyle {R_{\alpha }^{3}}$ = 0，並根據它們計算分量 γ_*a*3，證實不等式 (式 94) 成立。這項研究表明，在兩個漸近區域，分量 γ_*a*3 是 ~ γ₃₃。因此，不等式 (式 93) 的正確性立即意味著不等式 (式 94) 的正確性。

該解包含四個關於三個空間座標x、y、z的任意函式，如同在真空中場的普遍情況下一樣。在 ξ $\scriptstyle {\ll }$ 1 的區域中，這些函式例如為 λ₁、λ₂、μ₁、s₁。在 ξ $\scriptstyle {\gg }$ 1 的區域中，四個函式由（等式 115）中關於座標z的傅立葉級數定義，其係數是x、y的函式；雖然傅立葉級數分解（或積分？）描述了一類特殊的函式，但該類足夠大，可以包含所有可能的初始條件的任何有限子集。

該解還包含許多其他關於座標x、y的任意函式。一般來說，這類二維任意函式的出現是因為愛因斯坦方程解中三維函式之間的關係是微分的（而不是代數的），暫且不提關於這些函式的幾何意義的更深層次問題。BKL 沒有計算獨立的二維函式的數量，因為在這種情況下很難得出明確的結論，因為三維函式是由一組二維函式定義的（更多詳情請參見 ）。

最後，BKL 繼續證明，一般解包含上述針對齊性模型獲得的特殊解。

將 Bianchi IX 型齊性空間的基向量代入（等式 7）中，該模型的時空度量採用以下形式

$ds_{IX}^{2}=dt^{2}-\left[\left(a^{2}\sin ^{2}z+b^{2}\cos ^{2}z\right)\sin ^{2}y+c^{2}\cos ^{2}y\right]dx^{2}-$

$-\left[a^{2}\cos ^{2}z+b^{2}\sin ^{2}z\right]dy^{2}-c^{2}dz^{2}+$

$+\left(b^{2}-a^{2}\right)\sin {2z}\sin {y}\ dx\ dy-2c^{2}\cos {y}\ dx\ dz.$ (等式 121)

當c² $\scriptstyle {\ll }$ a²、b² 時，除了在c² dz² 項中，其他所有地方都可以忽略c²。為了從（等式 121）中使用的同步系轉換到滿足條件（等式 91）的系，執行變換dt = c dξ/2，並將z 代換為z/2。此外，假設 χ ≡ ln (a/b) $\scriptstyle {\ll }$ 1，可以從（等式 121）的一階近似中獲得

$ds_{IX}^{2}={\frac {1}{4}}c^{2}\left(d\xi ^{2}-dz^{2}\right)-$

$-ab\left\{\sin ^{2}{y}\left(1-\chi \cos {z}\right)dx^{2}+\left(1+\chi \cos {z}\right)+2\chi \sin {z}\sin {y}\ dx\ dy\right\}.$ (等式 122)

類似地，使用 Bianchi VIII 型齊性空間的基向量，可以獲得

$ds_{VIII}^{2}={\frac {1}{4}}c^{2}\left(d\xi ^{2}-dz^{2}\right)-$

$-ab\left\{\sin ^{2}{y}\left(\operatorname {ch} z-\chi \right)dx^{2}+\left(\operatorname {ch} z+\chi \right)+2\operatorname {sh} z\sin {y}\ dx\ dy\right\}.$ (公式 123)

根據以上對齊次空間的分析，在兩種情況下，ab = ξ（簡化 $\scriptstyle {a_{0}^{2}}$ = ξ₀）和 χ 來自 (公式 51)；函式 c (ξ) 分別由公式 (公式 53) 和 (公式 61) 給出，分別用於 IX 型和 VIII 型模型。

從 (公式 112, 115, 116) 中選擇二維向量 l_a 和 m_a，可以得到 VIII 型的相同度規

$l_{1}=m_{1}=\left(1/{\sqrt {2}}\right)\sin {y},\quad l_{2}=m_{2}=1/{\sqrt {2}}$ (公式 124)

並代入

$\rho =1/2,\quad A_{20}^{*}=B_{20}=iAe^{i\xi _{0}},\quad A_{1n}=A_{2n}=B_{1n}=B_{2n}=0\quad (n\neq 0).$ (公式 125)

為了獲得 IX 型的度規，應該代入

$\rho =0,\omega =1,\,$

$A_{11}=-B_{11}^{*}=A_{1,-1}^{*}=-B_{1,-1}=-{\frac {1}{2}}Ae^{-i\xi _{0}},$

$A_{21}=B_{21}^{*}=A_{2,-1}^{*}=B_{2,-1}=-{\frac {1}{2}}iAe^{-i\xi _{0}},$ (公式 126)

$A_{1n}=A_{2n}=B_{1n}=B_{2n}=0\quad (n\neq \pm 0)$

(為了計算 c (ξ)，(公式 116) 中的近似值不足夠，並且計算了 ψ 中 ξ 的線性項)

此分析是針對真空空間進行的。包含物質不會使解變得不那麼通用，也不會改變其定性特徵。

結論

BKL 描述了愛因斯坦方程宇宙學解中的奇點，這些奇點具有複雜的振盪特性。雖然這個奇點主要是在特殊的齊次模型上研究的，但有令人信服的理由認為，愛因斯坦方程一般解中的奇點具有相同的特徵；這種情況下使 BKL 模型對宇宙學很重要。

這種說法的基礎是，奇點臨近的振盪模式是由單個擾動引起的，這個擾動也導致廣義卡斯納解的不穩定性。模型普遍性的一個確認是長時期的分析構造，這些時期具有小的振盪。雖然這種後一種行為不是奇點附近度規演化的必要元素，但它具有所有主要的定性特徵：在兩個空間維度上的度規振盪，以及在第三維度上的單調變化，在某個時間間隔的末端，這種模式會發生一定的擾動。然而，在非齊次空間度規的一般情況下，卡斯納時期的過渡尚未得到詳細闡明。

奇點可能對空間幾何帶來的限制問題被留待進一步研究。然而，從一開始就很清楚，原始的 BKL 模型適用於有限或無限空間；這可以透過閉合和開放時空的振盪奇點模型的存在來證明。

奇點逼近的振盪模式賦予了“時間有限性”一詞新的含義。在世界時間 *t* 的任何有限時刻和 *t* = 0 時刻之間存在無限多個振盪。從這個意義上說，這個過程具有無限性。與時間 *t* 相比，ln *t* 是描述該過程的更合適的變數，因為該過程擴充套件到 -∞。

BKL 考慮度量在時間遞減方向上的演化。愛因斯坦方程關於時間符號是對稱的，因此度量在時間遞增方向上的演化也是可能的。然而，這兩種情況從根本上不同，因為過去和未來在物理意義上並不等效。未來的奇點只有在之前時刻存在的任意初始條件下才可能在物理上具有意義。宇宙演化的某個時刻的物質分佈和場不一定對應於愛因斯坦方程的給定特殊解存在所需的特定條件。

選擇與現實世界相對應的解與深刻的物理要求有關，而這些要求無法僅透過現有的相對論找到，而可能是在物理理論未來綜合的結果中找到。因此，可能會發現這種選擇會挑選出一些特殊（例如各向同性）的奇點型別。然而，由於其普遍性，更自然地假設振盪模式應該是初始演化階段的主要特徵。

在這方面，Misner 顯示的模型的一個特性，與光訊號的傳播有關，引起了極大的興趣。在各向同性模型中，存在“光視界”，這意味著對於每個時刻，都存在一個最長的距離，在這個距離上不可能進行光訊號交換，因此也不可能進行因果聯絡：訊號無法在奇點 *t* = 0 後的時間內到達這樣的距離。

訊號傳播由方程 *ds* = 0 決定。在奇點 *t* = 0 附近的各向同性模型中，區間元素為 *ds*² = *dt*² — 2*t* $\scriptstyle {d{\bar {l}}^{2}}$，其中 $\scriptstyle {d{\bar {l}}^{2}}$ 是一個與時間無關的空間微分形式。將 *t* = η²/2 代入，得到

$ds^{2}=\eta ^{2}\left(d\eta ^{2}-d{\bar {l}}^{2}\right).$（方程 127）

訊號到達的“距離”Δ$\scriptstyle {\bar {l}}$ 為

$\Delta {\bar {l}}=\Delta \eta .$（方程 128）

由於 η 與 *t* 一樣，從 0 開始執行，直到“時刻”η，訊號才能在 Δ$\scriptstyle {\bar {l}}$ ≤ η 的距離內傳播，這確定了視界的最遠距離。

各向同性模型中光視界的存在，對理解目前觀測到的宇宙微波背景輻射各向同性起源提出了問題。根據各向同性模型，觀測到的各向同性意味著到達觀測者的來自空間中彼此之間無法進行因果聯絡的區域的輻射的各向同性性質。在奇點附近的振盪演化模型中，情況可能不同。

例如，在 IX 型空間的均勻模型中，訊號在長時間尺度上以接近 ~ *t* 的規律變化的方向傳播。該方向上的距離元素的平方為 *dl*² = *t*²$\scriptstyle {{\bar {l}}^{2}}$，相應的四維區間元素為 *ds*² = *dt*² − *t*²$\scriptstyle {{\bar {l}}^{2}}$。將 *t* = *е*^η 代入，得到

$ds^{2}=e^{2\eta }\left(d\eta ^{2}-d{\bar {l}}^{2}\right),$（方程 129）

對於訊號傳播，再次有類似於（方程 128）的方程。重要的區別是，變數 η 現在從 -∞ 開始執行（如果度量（方程 129）對從 *t* = 0 開始的所有 *t* 都有效）。

因此，對於每個給定的“時刻”η，都會找到訊號覆蓋每個有限距離所需的中間間隔Δη。

這樣，在一個漫長的時代裡，在給定的空間方向上會開啟一個光視界。雖然每個漫長時代的持續時間仍然是有限的，但在世界演化的過程中，時代會在不同的空間方向上無限次地改變。這種情況讓人們期望在這個模型中，整個空間中事件之間的因果關係是可能的。由於這個特性，Misner 以一個麵糰混合機品牌的名稱將這個模型稱為“混音宇宙”。

隨著時間的推移，人們遠離奇點，物質對度規演化的影響（在演化的早期階段微不足道）逐漸增加，最終變得占主導地位。可以預見，這種影響將導致空間逐漸“各向同性”，從而使其特性更接近於弗裡德曼模型，該模型很好地描述了宇宙的當前狀態。

最後，BKL 提出一個問題，即在現有的相對論理論的基礎上，是否可行地考慮一個具有無限密度物質的世界“奇異狀態”。在這些條件下，以目前形式的的愛因斯坦方程的物理應用只有在未來物理理論的綜合過程中才能得到澄清，從這個意義上來說，這個問題目前無法解決。

重要的是，無論物質密度如何，引力理論本身都不會失去其邏輯連貫性（即，不會導致內部矛盾）。換句話說，該理論不受其自身施加的條件的限制，這些條件可能使其在非常大的密度下變得邏輯上不可接受和有爭議；原則上，限制只能作為“外部”於引力理論的因素的結果出現。這種情況使得在現有理論框架內，對宇宙模型中奇點的研究在形式上是可接受的和必要的。

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