廣義相對論/克里斯托費爾符號

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克里斯托費爾符號的定義

考慮一個在整個洛倫茲流形上定義的任意逆變向量場，並在 $x^{i}$ 處取 $A^{i}$，而在鄰近點，向量為 $A^{i}+dA^{i}$ 在 $x^{i}+dx^{i}$。

接下來將 $A^{i}$ 從 $x^{i}$ 平行移動到 $x^{i}+dx^{i}$，假設向量變化為 $\delta A^{i}$。定義

$DA^{i}=dA^{i}-\delta A^{i}$

$\delta A^{i}$ 的分量必須對 $A^{i}$ 的分量具有線性依賴關係。定義克里斯托費爾符號 $\Gamma _{kl}^{i}$

$\delta A^{i}=-\Gamma _{kl}^{i}A^{k}dx^{l}$

注意這些克里斯托費爾符號是

• 依賴於座標系（因此它們不是張量）
• 座標的函式

現在考慮任意逆變和協變向量 $A^{i}$ 和 $B_{i}$。由於 $A^{i}B_{i}$ 是一個標量，$\delta (A^{i}B_{i})=0$，得到

$B_{i}\delta A^{i}+A^{i}\delta B_{i}=0$

$\Rightarrow A^{i}\delta B_{i}=\Gamma _{kl}^{i}A^{k}B_{i}dx^{l}$

$\Rightarrow A^{i}\delta B_{i}=\Gamma _{il}^{k}A^{i}B_{k}dx^{l}$

$\Rightarrow \delta B_{i}=\Gamma _{il}^{k}B_{k}dx^{l}$

協變導數和普通導數之間的關係

從上面的推導中，我們可以得到協變導數和普通導數之間的關係。

${A^{i}}_{;l}={\frac {\partial A^{i}}{\partial x^{l}}}+\Gamma _{kl}^{i}A^{k}$

$A_{i;l}={\frac {\partial A_{i}}{\partial x^{l}}}-\Gamma _{il}^{k}A_{k}$

類似地，對於張量

${A^{ik}}_{;l}={\frac {\partial A^{ik}}{\partial x^{l}}}+\Gamma _{ml}^{i}A^{mk}+\Gamma _{ml}^{k}A^{im}$

克里斯托費爾符號的計算

從 $g_{ik}DA^{k}+A^{k}Dg_{ik}=D\left(g_{ik}A^{k}\right)=DA_{i}=g_{ik}DA^{k}$，我們可以得出 $g_{ik;l}=0$。

然而，由於 $g_{ik}$ 是一個張量，它的協變導數可以用常規偏導數和克里斯托費爾符號來表示

$g_{ik;l}={\frac {\partial g_{ik}}{\partial x^{l}}}-g_{mk}\Gamma _{il}^{m}-g_{im}\Gamma _{kl}^{m}=0$

重寫上面的表示式，然後對i，k和l進行置換

${\frac {\partial g_{ik}}{\partial x^{l}}}=g_{mk}\Gamma _{il}^{m}+g_{im}\Gamma _{kl}^{m}$

${\frac {\partial g_{kl}}{\partial x^{i}}}=g_{ml}\Gamma _{ki}^{m}+g_{km}\Gamma _{li}^{m}$

$-{\frac {\partial g_{li}}{\partial x^{k}}}=-g_{mi}\Gamma _{lk}^{m}-g_{lm}\Gamma _{ik}^{m}$

將上面的三個表示式加起來，得到（使用符號 ${\frac {\partial A^{i}}{\partial x^{j}}}={A^{i}}_{,j}$)

$2g_{mk}\Gamma _{il}^{m}=g_{ik,l}+g_{kl,i}-g_{li,k}$

兩邊乘以 ${\frac {1}{2}}g^{kn}$

$\Rightarrow \Gamma _{il}^{n}=\delta _{m}^{n}\Gamma _{il}^{m}={\frac {1}{2}}g^{kn}\left(g_{ik,l}+g_{kl,i}-g_{li,k}\right)$

因此，如果已知度量，則可以計算出克里斯托費爾符號。