廣義相對論/逗號導數

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在廣義相對論中，我們將我們的（四維）座標寫成 $(x^{0},x^{1},x^{2},x^{3})$。平坦的閔可夫斯基時空座標（“區域性洛倫茲系”）為 $x^{0}=ct$，$x^{1}=x$，$x^{2}=y$，以及 $x^{3}=z$，其中 $c$ 是光速，$t$ 是時間，$x$，$y$，以及 $z$ 是通常的三維笛卡爾空間座標。

逗號導數僅僅是對其中一個座標進行偏微分的一種方便的表示法。下面是一些示例

1. $T_{\ \beta ,\gamma }^{\alpha }={\frac {\partial T_{\ \beta }^{\alpha }}{\partial x^{\gamma }}}$

2. $f_{,\mu }={\frac {\partial f}{\partial x^{\mu }}}$

3. $w_{\ ,\nu }^{\mu }={\frac {\partial w^{\mu }}{\partial x^{\nu }}}$

4. $\Gamma _{\ \beta \gamma ,\mu }^{\alpha }={\frac {\partial \Gamma _{\ \beta \gamma }^{\alpha }}{\partial x^{\mu }}}$

如果逗號後面出現多個索引，則它們都被視為微分的組成部分。下面是一些示例

1. $S_{\alpha \ ,\mu \nu }^{\ \beta }=\left(S_{\alpha \ ,\mu }^{\ \beta }\right)_{,\nu }={\frac {\partial }{\partial x^{\nu }}}\left({\frac {\partial S_{\alpha }^{\ \beta }}{\partial x^{\mu }}}\right)={\frac {\partial ^{2}S_{\alpha }^{\ \beta }}{\partial x^{\nu }\partial x^{\mu }}}}$

2. $f_{,\alpha \beta \beta }=\left[\left(f_{,\alpha }\right)_{,\beta }\right]_{,\beta }={\frac {\partial ^{3}f}{\partial ^{2}x^{\beta }\partial x^{\alpha }}}$

現在，我們透過**雅可比矩陣**$x_{\ ,\nu }^{\mu }$改變座標系。變換規則為$x^{\bar {\mu }}=x^{\mu }x_{\ ,\mu }^{\bar {\mu }}$。

最後，我們給出以下重要定理：

定理： $x_{\ ,\mu }^{\alpha }x_{\ ,\beta }^{\mu }=\delta _{\beta }^{\alpha }$

證明： $x_{\ ,\mu }^{\alpha }x_{\ ,\beta }^{\mu }=\sum _{\mu =0}^{3}{\frac {\partial x^{\alpha }}{\partial x^{\mu }}}{\frac {\partial x^{\mu }}{\partial x^{\beta }}}$，根據鏈式法則，它等於${\frac {\partial x^{\alpha }}{\partial x^{\beta }}}$，它當然等於$\delta _{\beta }^{\alpha }$。 $\square$

因此，作為矩陣，$\left(x_{\ ,\mu }^{\alpha }\right)$ 的矩陣逆是 $\left(x_{\ ,\beta }^{\mu }\right)$。