廣義相對論/協變微分

現在我們已經建立了一些張量代數和彎曲空間的基礎知識，讓我們嘗試在那個彎曲空間中做些事情。我們從求導開始。在愛因斯坦記號中，求導看起來像

${\frac {\partial }{\partial x^{j}}}f(x^{i})$

為了瞭解在變換座標時事物如何運作，我們將座標從 $x^{i}$ 轉換為 $x^{\prime i}$ ，透過張量變換 $x^{\prime i}=A_{k}^{i}x^{k}$

所以讓我們弄清楚我們的導數在我們新的座標系中是什麼樣子。

${\frac {\partial }{\partial x^{\prime j}}}f(x^{\prime i})=$

${\frac {\partial }{\partial x^{k}}}f(x^{\prime i}){\frac {\partial x^{k}}{\partial x^{\prime j}}}=$

${\frac {\partial }{\partial x^{k}}}f(x^{l}){\frac {\partial x^{l}}{\partial x^{\prime i}}}{\frac {\partial x^{k}}{\partial x^{\prime j}}}$

所以如果變換是常數，我們會得到一個非常好的結果……

如果變換隨位置變化，結果就不那麼好了，也就是說，我們不是使用變換 $A_{k}^{i}$ ，而是使用變換 $A_{k}^{i}(x^{j})$

這裡我們有一個不錯的部分，還有一個不太好的部分。如果有一種方法可以擺脫不太好的部分就好了。在這一點上，我們做了一個有趣的技巧，那就是重新定義導數的概念。我們不是將導數簡單地定義為我們在歐幾里得空間中所做的那樣，而是建立了一種稱為協變導數的新型別導數。協變導數就像普通導數，只是我們添加了一個“修正因子”來消除方程中不太好的部分，以便結果很好地變換。