廣義相對論/可微流形

<廣義相對論

一個光滑的 $n$-維流形 $\mathrm {M} ^{n}$ 是一個 集合，以及其中一組子集 $\{O_{\alpha }\}$，具有以下性質

1. 每個 $p\in \mathrm {M}$ 至少屬於一個 $O_{\alpha }$，即 $\mathrm {M} =\cup _{\alpha }O_{\alpha }$.
2. 對於每個 $\alpha$，都存在一個 雙射 $\psi _{\alpha }:O_{\alpha }\longrightarrow U_{\alpha }$，其中 $U_{\alpha }$ 是 $\mathbb {R} ^{n}$ 的一個 開子集
3. 如果 $O_{\alpha }\cap O_{\beta }$ 不為空，則對映 $\psi _{\alpha }\circ \psi _{\beta }^{-1}:\psi _{\beta }[O_{\alpha }\cap O_{\beta }]\longrightarrow \psi _{\alpha }[O_{\alpha }\cap O_{\beta }]$ 是 光滑的.

這些雙射被稱為 圖 或 座標系。圖的集合被稱為 圖集。圖集在 M 上誘匯出一個 拓撲，使得這些圖是 連續的。圖的定義域 $O_{\alpha }$ 被稱為 座標區域。

示例

• 歐幾里得空間，$\mathbb {R} ^{n}$，只有一個圖 ($O=\mathbb {R} ^{n},\psi =$ 恆等對映) 是一個微分流形的平凡例子。
• 2-球面 $S^{2}=\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}|x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\}$.

請注意，$S^{2}$ 不是 $\mathbb {R} ^{3}$ 的開子集。 $\mathbb {R} ^{3}$ 上的恆等對映限制到 $S^{2}$ 不滿足圖的要求，因為它的值域不是 $\mathbb {R} ^{3}.$

通常的球座標對映 $S^{2}$ 到 $\mathbb {R} ^{2}$ 中的一個區域，但是值域同樣不是 $\mathbb {R} ^{2}.$ 相反，我們可以定義兩個圖，每個圖都定義在 $S^{2}$ 的一個子集上，該子集省略了半個圓。 如果這兩個半個圓不重疊，則這兩個圖的定義域的並集是整個 $S^{2}$。 使用這兩個圖，$S^{2}$ 成為一個二維微分流形。 可以證明，如果 $S^{2}$ 的拓撲結構是通常的，那麼單個圖不可能覆蓋整個 $S^{2}$。