廣義相對論/愛因斯坦方程

主條目: 愛因斯坦場方程

愛因斯坦場方程或愛因斯坦方程是一個動力學方程，描述了物質和能量如何改變時空的幾何結構，這種彎曲的幾何結構被解釋為物質源的引力場。物體（其質量遠小於物質源）在這個引力場中的運動，可以透過測地線方程非常精確地描述。

愛因斯坦場方程的數學形式

愛因斯坦場方程（EFE）通常寫成以下形式

R_{\mu \nu }-{1 \over 2}{Rg_{\mu \nu }}+\Lambda g_{\mu \nu }={8\pi G \over c^{4}}T_{\mu \nu }

其中

$R_{\mu \nu }$ 是裡奇曲率張量
$R$ 是裡奇標量（裡奇張量的張量收縮）
$g_{\mu \nu }$ 是一個（對稱 4 x 4）度量張量
$\Lambda$ 是宇宙常數
$\pi$ 是π=3.1415..., 圓周長與直徑的比值
$G$ 是萬有引力常數
$c$ 是光速在自由空間中
$T_{\mu \nu }$ 是物質的能量-動量應力-能量張量

EFE 方程是一個張量方程，它將一組對稱 4 x 4 張量聯絡起來。這裡用分量寫出來。每個張量都有 10 個獨立分量。考慮到可以自由選擇四個時空座標，獨立方程的數量減少到 6 個。

EFE 被理解為一個關於度量張量 $g_{\mu \nu }$ 的方程（給定一個以應力-能量張量形式指定的物質和能量分佈）。儘管該方程看起來很簡單，但實際上它非常複雜。這是因為裡奇張量和裡奇標量都以複雜的非線性方式依賴於度量。

透過定義愛因斯坦張量，可以將 EFE 寫成更緊湊的形式

G_{\mu \nu }=R_{\mu \nu }+(\Lambda -{1 \over 2}R)g_{\mu \nu }

它是一個對稱的二階張量，是度規的函式。在幾何化單位中，G = c = 1，愛因斯坦場方程可以寫成

G_{\mu \nu }=8\pi T_{\mu \nu }\,

左側的表示式代表由度規決定的時空曲率，右側的表示式代表時空的物質/能量內容。因此，愛因斯坦場方程可以解釋為一組方程，規定了時空的曲率如何與宇宙的物質/能量內容相關。

這些方程，連同測地線方程，構成了廣義相對論數學公式的核心。

愛因斯坦方程的性質

能量和動量的守恆

愛因斯坦場方程的一個重要結果是能量和動量的區域性守恆；這個結果是透過使用微分Bianchi恆等式得到的

\nabla _{b}G^{\mu \nu }=G^{\mu \nu }{}_{;b}=0

利用愛因斯坦場方程，得到

\nabla _{b}T^{\mu \nu }=T^{\mu \nu }{}_{;b}=0

這表達了上面提到的區域性守恆定律。

場方程的非線性

愛因斯坦場方程是一組關於度規分量的 10 個耦合的橢圓-雙曲非線性偏微分方程。場方程的這一非線性特徵將廣義相對論與其他物理理論區分開來。

例如，麥克斯韋方程組在電場和磁場中是線性的（即兩個解的和也是一個解）。

另一個例子是薛定諤方程，它在波函式中是線性的。

對應原理

愛因斯坦方程透過使用弱場近似和慢運動近似，可以簡化為牛頓萬有引力定律。事實上，愛因斯坦場方程中出現的萬有引力常數 $G$ 是透過這兩個近似得到的。

宇宙常數

宇宙常數項 $\Lambda g_{\mu \nu }$ 最初由愛因斯坦引入，以允許一個靜態的宇宙（即一個既不膨脹也不收縮的宇宙）。這項努力失敗了兩個原因：該理論描述的靜態宇宙是不穩定的，而十年後哈勃對遙遠星系的觀測證實，我們的宇宙實際上不是靜態的，而是正在膨脹。因此 $\Lambda$ 被放棄了（設為 0），愛因斯坦稱之為“他所犯的最大錯誤”。

儘管愛因斯坦引入宇宙常數項的動機是錯誤的，但方程中存在這樣的項並沒有什麼錯誤（即不一致）。事實上，最近，改進的天文技術發現，一個非零的 $\Lambda$ 值是解釋一些觀測所必需的。

愛因斯坦認為宇宙常數是一個獨立的引數，但它在場方程中的項也可以在代數上移到另一邊，寫成應力-能量張量的一部分

T_{\mu \nu }^{\mathrm {(vac)} }=-{\frac {\Lambda }{8\pi }}g_{\mu \nu }

常數

\rho _{\mathrm {vac} }={\frac {\Lambda }{8\pi }}

被稱為真空能。宇宙常數的存在等同於非零真空能的存在。在廣義相對論中，這兩個術語現在可以互換使用。

場方程的解

愛因斯坦場方程的解是時空度規。因此，這些解通常被稱為“度規”。這些度規描述了時空的結構，包括物體在時空中的慣性運動。由於場方程是非線性的，因此它們不能總是被完全求解（即，不進行近似）。例如，對於包含兩個大質量物體的時空，沒有已知的完整解（例如，這是雙星系統的理論模型）。然而，在這些情況下通常會進行近似。這些通常被稱為後牛頓近似。即使如此，場方程仍然存在許多可以完全求解的情況，這些被稱為精確解。

對愛因斯坦場方程精確解的研究是宇宙學活動之一。它導致了對黑洞的預測，以及對宇宙演化的不同模型的預測。

真空場方程

如果能量-動量張量 $T_{\mu \nu }$ 在所考慮的區域內為零，則場方程也被稱為真空場方程，可以寫成

R_{ab}=0\,

真空場方程的解稱為真空解。平坦的閔可夫斯基空間是真空解的最簡單例子。非平凡的例子包括史瓦西解和克爾解。

上面的真空方程假設宇宙常數為零。如果它被認為是非零的，那麼真空方程變為

R_{\mu \nu }=\Lambda g_{\mu \nu }\,

數學家通常將具有消失的裡奇張量的流形稱為裡奇平坦流形，將具有與度規成比例的裡奇張量的流形稱為愛因斯坦流形。

另請參閱

參考文獻

Weinberg, S. Gravitation and Cosmology: Principles and Applications of the General Theory of Relativity (1972) ISBN 0471925675

Stephani, H., Kramer, D., MacCallum, M., Hoenselaers C. and Herlt, E. Exact Solutions of Einstein's Field Equations (2nd edn.) (2003) CUP ISBN 0521461367