廣義相對論/愛因斯坦求和約定

<廣義相對論

在上一節中，我們討論了涉及張量的許多運算。其中一個運算就是將協變向量和逆變向量組合成一個標量。另一個是將逆變向量輸入一個張量並獲得一個力。

由於我們希望用這些運算進行數學計算，讓我們嘗試看看如何表示它們。我們以嘗試將逆變向量（v）--它代表我們運動的方向和速度--與協變向量（w）--它代表溫度在特定方向上的變化速率--組合起來作為例子。我們想要得到一個描述溫度變化率的比例不變數，即溫度隨時間變化的速度，而我們則沿著向量 v 的方向運動。

現在我們可以用非常抽象的方式進行操作。例如，如果我們想要將逆變張量和協變張量組合起來得到一個標量，我們可以寫成...

$f=\mathbf {v} \cdot \mathbf {w}$

這只是我們熟悉的點積。這種表示方法簡潔明瞭，易於書寫。然而，問題在於它沒有告訴我們 f、v 和 w 是什麼。f 是一個標量。v 是一個逆變張量。w 是一個協變張量。在基本的向量微積分中，我們只需要處理標量和向量，所以這不是問題。但現在我們的數學體系變得更加複雜，這個問題就出現了。

下一種方法是將所有內容都寫成分量形式。所以我們有

$f=v^{1}w_{1}+v^{2}w_{2}$

這種方法的問題在於我們需要重複書寫相同的數字很多次。讓我們用求和符號來表示。

$f=\sum _{\mu =1}^{2}v^{\mu }w_{\mu }$

更好一點... 但求和符號，我們真的想一遍又一遍地寫它嗎？它給了我們什麼？我們可以非常聰明地只寫

$f=v^{\mu }w_{\mu }$

並記住，當我們在乘積中看到相同的字母出現在上標（“上標”）索引和下標（“下標”）索引時，就意味著我們要對這些索引求和。這被稱為愛因斯坦求和約定。當在一個乘積中看到相同的字母同時出現在上標和下標索引上時，就自動對這些索引求和。請注意，在廣義相對論中，索引通常取值為 0 到 3。（注意：希臘字母通常取值為 0 到 3，而羅馬字母取值為 1 到 3）。

下面是一些愛因斯坦求和約定在實際應用中的例子

1. $v^{\mu }\sigma _{\mu }=\sum _{\mu =0}^{3}v^{\mu }\sigma _{\mu }=v^{0}\sigma _{0}+v^{1}\sigma _{1}+v^{2}\sigma _{2}+v^{3}\sigma _{3}$

2. $T^{\alpha \beta }S_{\alpha \beta }=\sum _{\alpha ,\beta =0}^{3}T^{\alpha \beta }S_{\alpha \beta }=T^{00}S_{00}+T^{10}S_{10}+T^{20}S_{20}+T^{30}S_{30}+T^{01}S_{01}+T^{11}S_{11}+$ 等（共 16 項）

3. $R_{\mu \nu }=R_{\ \mu \rho \nu }^{\rho }=\sum _{\rho =0}^{3}R_{\ \mu \rho \nu }^{\rho }=R_{\ \mu 0\nu }^{0}+R_{\ \mu 1\nu }^{1}+R_{\ \mu 2\nu }^{2}+R_{\ \mu 3\nu }^{3}$

恆等式

指標符號中存在多個恆等式。

收縮

如果 $i=j$，則 $\delta _{j}^{i}=1$。

$\delta _{j}^{i}\delta _{k}^{j}=\delta _{k}^{i}\,$

$\delta _{j}^{i}x_{ij}=x_{mm}=\mathrm {trace} (x_{ij})$

微分

${\frac {\partial x_{i}}{\partial x_{j}}}=\delta _{j}^{i}$

${\frac {\partial x_{ij}}{\partial x_{k\ell }}}=\delta _{k}^{i}\delta _{\ell }^{j}$