廣義相對論/簡介
廣義相對論 (GR) 是由阿爾伯特·愛因斯坦在 1907 年至 1915 年間發展起來的引力理論。根據廣義相對論，觀察到的質量之間的引力吸引是由於這些質量對時空的彎曲造成的。
在廣義相對論出現之前，牛頓萬有引力定律已被接受為描述質量之間引力的一種有效描述，已有 200 多年。在牛頓模型中，引力是質量物體之間吸引力的結果。儘管即使牛頓也對這種未知力量的性質感到困擾，但基本框架在描述運動方面非常成功。
然而，實驗和觀察表明，愛因斯坦的描述解釋了牛頓定律無法解釋的幾種效應，例如水星和其他行星軌道上的微小異常。廣義相對論還預測了引力的新效應，例如引力波、引力透鏡和引力對時間的影響，被稱為引力時間膨脹。這些預測中的許多已被實驗證實，而其他則正在進行研究。例如，儘管有引力波的間接證據，但 LIGO 等實驗的科學家團隊也獲得了其存在的直接證據。
廣義相對論已發展成為現代天體物理學中必不可少的工具。它為當前對黑洞的理解提供了基礎，黑洞是空間區域，引力吸引力如此之強，甚至光都無法逃逸。它們的強大引力被認為是某些型別天體（如活動星系核或微類星體）釋放出強烈輻射的原因。廣義相對論也是標準宇宙學大爆炸模型框架的一部分。
儘管廣義相對論不是唯一的相對論引力理論，但它是最簡單的與實驗資料一致的理論。然而，一些懸而未決的問題仍然存在：最基本的問題是如何將廣義相對論與量子物理定律調和起來，以產生一個完整且自洽的量子引力理論。
在普通的三維空間中，笛卡爾座標系中距離的公式為
現在如果需要，可以更改座標系。如果旋轉座標系或將其拉伸或壓縮，x、y 和 z 的值可能會改變，但距離不會改變。我們甚至可以想象更激進的變化，比如進入 球座標，其中
在狹義相對論中，我們瞭解到物理是由另一個不變數描述的，其中
同樣，我們可以自由地將 x、y、z 和 t 的座標更改為我們想要的任何值，但底層幾何形狀和距離不會改變。
下一步是將引力納入此圖片。雖然數學細節可能很複雜，但基本思想是，引力的影響等同於觀察者加速的影響。從這個等效原理，愛因斯坦能夠證明物質所做的是改變距離規則。我們上面顯示的公式僅在物質不存在時才嚴格成立；當物質存在時，確定距離的規則會發生變化，這些變化的影響是產生我們都知道的引力效應。
這種引力圖非常簡單和優雅。但是，它有一個問題；為了使它可用，有必要學習許多新的數學概念來理解此圖片的工作原理。
在我們的日常生活中，我們已經非常熟悉三維歐幾里得空間的性質，因為那是我們生活的世界。為了做任何事情，例如走路、移動或接球，我們的大腦必須處理 3 空間，因此我們對這種幾何形狀的工作原理有相當多的直觀知識。即使我們在三維空間中進行數學運算，我們也被我們的思想內建的這種知識所幫助。但是，當我們討論其他型別的空間時，我們正常的直覺就會失效，我們被迫遵循更困難的路徑，試圖透過精確的數學陳述來描述情況來弄清楚發生了什麼，這涉及學習幾個新的數學概念和技術。
舉一個我們必須學習的數學技術的例子。想象一下你身處一個平面的表面上。距離的一個公式是
平面中極座標距離的另一個公式是
現在這兩個公式看起來很不同，但實際上它們是對相同情況的兩種不同描述。
在圓柱體的表面上
我們再次得到一個與極座標表示的平面距離非常相似的公式：區域性地，圓柱體與平面無法區分。稍後，我們將對此命名：我們稱這些為平坦表面。
但是，如果我們在球體的表面上，那麼 φ 和 θ 的微小變化的距離為
現在在這種情況下，距離公式的差異不僅僅是我們在使用不同的座標來描述同一件事，我們所描述的事物本身 *實際上是不同的*。所以這引發了許多問題。我們如何知道距離公式的差異是真實的還是僅僅是座標系的不同？我們能否用一種讓我們自然區分真實差異而不是描述結果的差異的方式來談論距離公式？我們如何對不同的幾何進行分類？當我們談論三維空間或嵌入在三維空間中的二維物體（如球體）時，所有這些可能都是直觀的。然而，為了討論四維時空幾何的行為，我們需要依靠數學陳述來獲得答案。
幸運的是，像黎曼這樣的數學家在 19 世紀初就解決了所有這些問題。然而，為了理解如何處理奇怪的幾何，我們需要學習一些更多的概念，比如張量的概念。