廣義相對論/度量張量

<廣義相對論

回想一下，張量是一個線性函式，它可以將向量轉換為標量。回想一下，距離可以用一個將向量轉換為標量的公式來表示。那麼我們能否用張量公式來表示距離呢？是的，我們可以。

第一個問題在於，張量是線性函式，但我們的距離公式中有一些平方項。我們可以用一個數學技巧來解決這個問題。考慮使用笛卡爾座標系在三維歐幾里得空間中表示距離的公式

$\mathbf {d} s^{2}=\mathbf {d} x^{2}+\mathbf {d} y^{2}+\mathbf {d} z^{2}$

我們可以將其改寫為

$\mathbf {d} s^{2}=\delta _{ij}\mathbf {d} x^{i}\mathbf {d} x^{j}$

現在 $\delta _{ij}$ 顯然是一個張量。它是什麼型別的張量呢？好吧，它接受兩個逆變向量，並將它們轉換為一個標量 $ds^{2}$。因此它必須是一個秩為 2 的協變張量。 $\delta _{ij}$ 稱為克羅內克德爾塔張量，當 $i=j$ 時為 1，否則為 0。一般來說，不是 $\delta _{ij}$，而是 $g_{ij}$ 

$\mathbf {d} s^{2}=g_{ij}\mathbf {d} x^{i}\mathbf {d} x^{j}$

這導致我們得到了一個一般的度量張量 $g_{ij}$。如前所述，在歐幾里得 3 空間中， $\left(g_{ij}\right)$ 只是克羅內克德爾塔矩陣。

這就是歐幾里得三維空間中距離方程的張量表示法。

現在讓我們使用這種表示法來進行狹義相對論

$\mathbf {d} s^{2}=g_{\mu \nu }\mathbf {d} x^{\mu }\mathbf {d} x^{\nu }$

其中希臘字母只是提醒我們，我們在對四維時空求和。現在，在狹義相對論的情況下，$g_{\mu \nu }$ 當$\mu$ 和 $\nu$ 不同時為零，對於空間指標 1、2、3 為 +1，對於時間指標為 $-c^{2}$。我們可以將這個特殊的矩陣稱為 $\eta$，這將給我們公式

$\mathbf {d} s^{2}=\eta _{\mu \nu }\mathbf {d} x^{\mu }\mathbf {d} x^{\nu }$

然而，一般來說，$g_{ij}$ 不一定是常數。一個簡單的例子是球座標，其度規為

$\mathbf {d} s^{2}=\mathbf {d} r^{2}+r^{2}\mathbf {d} \theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta \mathbf {d} \phi ^{2}$

這裡，$x^{1}=r$，$x^{2}=\theta$，$x^{3}=\phi$，$g_{11}=1$，$g_{22}=r^{2}$，$g_{33}=r^{2}\sin ^{2}\theta$，以及 $g_{12}=g_{13}=g_{23}=0$。

此外，度規可能具有非對角項，例如

$\mathbf {d} s^{2}=2\mathbf {d} x\mathbf {d} y$

很容易看出$g_{12}=1$ 並且 $g_{11}=g_{22}=0$.