<廣義相對論
給定一個張量 T {\displaystyle \mathbf {T} } ，其分量 T β α μ ν {\displaystyle T_{\ \beta }^{\alpha \ \mu \nu }} 由 T β α μ ν = T ( d x α , e β , d x μ , d x ν ) {\displaystyle T_{\ \beta }^{\alpha \ \mu \nu }=\mathbf {T} (\mathbf {d} x^{\alpha },\mathbf {e} _{\beta },\mathbf {d} x^{\mu },\mathbf {d} x^{\nu })} （只需將適當的基向量和基一形式插入槽位即可獲得分量）。
所以，給定一個度量張量 g ( u , v ) =< u | v > {\displaystyle \mathbf {g} (\mathbf {u} ,\mathbf {v} )=<\mathbf {u} \ |\ \mathbf {v} >} ，我們得到分量 g μ ν =< e μ | e ν > {\displaystyle g_{\mu \nu }=<\mathbf {e} _{\mu }\ |\ \mathbf {e} _{\nu }>} 和 g μ ν =< d x μ | d x ν > {\displaystyle g^{\mu \nu }=<\mathbf {d} x^{\mu }\ |\ \mathbf {d} x^{\nu }>} 。請注意， g ν μ = g μ ν = δ ν μ {\displaystyle g_{\ \nu }^{\mu }=g_{\mu }^{\ \nu }=\delta _{\nu }^{\mu }} ，因為 < e μ | d x ν >=< d x μ | e ν >= δ ν μ {\displaystyle <\mathbf {e} _{\mu }\ |\ \mathbf {d} x^{\nu }>=<\mathbf {d} x^{\mu }\ |\ \mathbf {e} _{\nu }>=\delta _{\nu }^{\mu }} .
現在，給定一個度量，我們可以將逆變指標轉換為協變指標。度量張量的分量根據規則 w α = g α μ w μ {\displaystyle w^{\alpha }=g^{\alpha \mu }w_{\mu }} 和 w α = g α μ w μ {\displaystyle w_{\alpha }=g_{\alpha \mu }w^{\mu }} 作為“升降運算元”。以下是一些示例
1. T β α γ = g β μ T α μ γ {\displaystyle T_{\ \beta }^{\alpha \ \gamma }=g_{\beta \mu }T^{\alpha \mu \gamma }}
最後，這裡有一個有用的技巧：將度量張量的分量看作矩陣，那麼就有 ( g μ ν ) = ( g μ ν ) − 1 {\displaystyle \left(g^{\mu \nu }\right)=\left(g_{\mu \nu }\right)^{-1}} ，因為 g μ σ g σ ν = g ν μ = δ ν μ {\displaystyle g^{\mu \sigma }g_{\sigma \nu }=g_{\ \nu }^{\mu }=\delta _{\nu }^{\mu }} .
