廣義相對論/黎曼張量

在微分幾何的數學領域，黎曼曲率張量是表達黎曼流形曲率的最標準方式。它是以伯恩哈德·黎曼命名的許多事物之一。曲率張量由以下公式給出，其中 Levi-Civita 聯絡表示為：

$R(u,v)w=\nabla _{u}\nabla _{v}w-\nabla _{v}\nabla _{u}w-\nabla _{[u,v]}w$

注意：一些作者用相反的符號定義曲率張量。

如果 $u={\frac {\partial }{\partial x^{i}}}$ 和 $v={\frac {\partial }{\partial x^{j}}}$ 是座標向量場，那麼 $[u,v]=0$，因此公式簡化為

$R(u,v)w=\nabla _{u}\nabla _{v}w-\nabla _{v}\nabla _{u}w$

即曲率張量衡量的是協變導數的非交換性。

黎曼曲率張量，特別是在其座標表示式中（見下文），是現代引力理論——廣義相對論的核心數學工具。

座標表示式

在區域性座標 $x^{\mu }$ 中，黎曼曲率張量由下式給出：

${R^{\rho }}_{\sigma \mu \nu }=dx^{\rho }(R(\partial _{\mu },\partial _{\nu })\partial _{\sigma })$

其中 $\partial _{\mu }=\partial /\partial x^{\mu }$ 是座標向量場。上述表示式可以用克里斯托費爾符號表示：

${R^{\rho }}_{\sigma \mu \nu }=\partial _{\mu }\Gamma _{\nu \sigma }^{\rho }-\partial _{\nu }\Gamma _{\mu \sigma }^{\rho }+\Gamma _{\mu \lambda }^{\rho }\Gamma _{\nu \sigma }^{\lambda }-\Gamma _{\nu \lambda }^{\rho }\Gamma _{\mu \sigma }^{\lambda }$

向量 $V^{\mu }$ 在繞無窮小矩形 $dx^{\nu }dx^{\sigma }$ 旋轉後的變化為：$\delta V^{\mu }=R_{\nu \sigma \tau }^{\mu }dx^{\nu }dx^{\sigma }V^{\tau }$.

對稱性和恆等式

黎曼曲率張量具有以下對稱性

$R(u,v)=-R(v,u)_{}^{}$

$\langle R(u,v)w,z\rangle =-\langle R(u,v)z,w\rangle _{}^{}$

$R(u,v)w+R(v,w)u+R(w,u)v=0_{}^{}$

最後一個恆等式是由格雷戈里奧·裡奇-庫爾巴斯特羅發現的，但通常被稱為**第一個Bianchi恆等式**或**代數Bianchi恆等式**，因為它看起來類似於下面的Bianchi恆等式。這三個恆等式構成了曲率張量對稱性的完整列表，即，給定任何滿足上述恆等式的張量，可以在某個點找到具有該曲率張量的黎曼流形。簡單的計算表明，這樣的張量有 $n^{2}(n^{2}-1)/12$ 個獨立分量。

另一個有用的恆等式可以從這三個恆等式推匯出來

$\langle R(u,v)w,z\rangle =\langle R(w,z)u,v\rangle _{}^{}$

**Bianchi恆等式**（通常被稱為**第二Bianchi恆等式**或**微分Bianchi恆等式**）涉及協變導數

$\nabla _{u}R(v,w)+\nabla _{v}R(w,u)+\nabla _{w}R(u,v)=0$

給定流形上某個點的任何座標圖，上述恆等式可以用黎曼張量在該點的分量表示為

$R_{abcd}^{}=-R_{bacd}=-R_{abdc}$

$R_{abcd}^{}=R_{cdab}$

$R_{a[bcd]}^{}=0$ （第一個Bianchi恆等式）

$R_{ab[cd;e]}^{}=0$（第二Bianchi恆等式）

其中方括號表示對指標進行迴圈對稱化，分號表示協變微分。

對於曲面

對於二維曲面，Bianchi恆等式表明黎曼張量可以表示為

$R_{abcd}^{}=K(g_{ac}g_{db}-g_{ad}g_{cb})$

其中 $g_{ab}$ 是度量張量，$K$ 是一個稱為高斯曲率的函式，而*a*、*b*、*c*和*d*的值為*1*或*2*。正如預期的那樣，我們看到黎曼曲率張量只有一個獨立的成分。

高斯曲率與曲面的截面曲率一致。它也是二維流形的標量曲率的一半，而曲面的Ricci曲率張量則由以下給出：

$\operatorname {Ric} _{ab}=Kg_{ab}.$