廣義相對論/張量的嚴格定義

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我們已經看到，1-形式（“協變向量”）可以被認為是一個運算子，它有一個插槽，我們可以在其中插入一個向量（“逆變向量”）並獲得標量 $\mathbf {\sigma } \left(\mathbf {v} \right)$。類似地，向量可以被認為是一個運算子，它有一個插槽，我們可以在其中插入一個 1-形式以獲得標量 $\mathbf {v} \left(\mathbf {\sigma } \right)$。作為運算子，它們是線性的，即 $\mathbf {\sigma } \left(\alpha \mathbf {u} +\beta \mathbf {v} \right)=\alpha \mathbf {\sigma } \left(\mathbf {u} \right)+\beta \mathbf {\sigma } \left(\mathbf {v} \right)$。

秩為 n 的張量是一個運算子，它有 n 個插槽用於插入向量或 1-形式，當所有 n 個插槽都被填充時，它返回一個標量。為了使這樣的運算子成為張量，它必須在每個插槽中是線性的，並且必須服從一定的變換規則（稍後將詳細介紹）。秩為 2 的張量的一個例子是 $\mathbf {T} =T_{\ \nu }^{\mu }\mathbf {e} _{\mu }\otimes \mathbf {d} x^{\nu }$。符號 $\otimes$（發音為“張量”）告訴你每個索引作用於哪個插槽。這個張量 $\mathbf {T}$ 被認為是型別 $(1,1)$，因為它有一個逆變插槽和一個協變插槽。由於 $\mathbf {e} _{\mu }$ 作用於第一個插槽，而 $\mathbf {d} x^{\nu }$ 作用於第二個插槽，我們必須在第一個插槽中插入一個 1-形式，在第二個插槽中插入一個向量（記住，1-形式作用於向量，反之亦然）。填充這兩個插槽，比如用 $\mathbf {\sigma }$ 和 $\mathbf {u}$，將返回標量 $\mathbf {T} \left(\mathbf {\sigma } ,\mathbf {u} \right)$。我們可以使用線性（記住，張量在每個插槽中都是線性的）來評估這個數字

$\mathbf {T} \left(\mathbf {\sigma } ,\mathbf {u} \right)=T_{\ \nu }^{\mu }\mathbf {e} _{\mu }\otimes \mathbf {d} x^{\nu }\left(\sigma _{\alpha }\mathbf {d} x^{\alpha },u^{\beta }\mathbf {e} _{\beta }\right)=T_{\ \nu }^{\mu }\mathbf {e} _{\mu }\left(\sigma _{\alpha }\mathbf {d} x^{\alpha }\right)\mathbf {d} x^{\nu }\left(u^{\beta }\mathbf {e} _{\beta }\right)=T_{\ \nu }^{\mu }\sigma _{\alpha }u^{\beta }\delta _{\mu }^{\alpha }\delta _{\beta }^{\nu }=T_{\ \nu }^{\mu }\sigma _{\mu }u^{\nu }$

我們不需要填入所有位置。當然，這不會產生標量，但會降低張量的秩。例如，如果我們填入 $\mathbf {T}$ 的第二個位置，但不是第一個位置，我們得到一個型別為 $(1,0)$ 的秩 1 張量（它是一個逆變向量）

$\mathbf {T} \left(\cdot \ ,\mathbf {u} \right)=T_{\ \nu }^{\mu }\mathbf {e} _{\mu }\otimes \mathbf {d} x^{\nu }\left(\cdot \ ,u^{\gamma }\mathbf {e} _{\gamma }\right)=T_{\ \nu }^{\mu }\mathbf {e} _{\mu }\left(\cdot \right)\mathbf {d} x^{\nu }\left(u^{\gamma }\mathbf {e} _{\gamma }\right)=T_{\ \nu }^{\mu }\mathbf {e} _{\mu }u^{\gamma }\delta _{\gamma }^{\nu }=T_{\ \nu }^{\mu }u^{\nu }\mathbf {e} _{\mu }$

舉個例子，考慮一個秩為 5 的張量 $\mathbf {S} =S_{\ \beta \gamma }^{\alpha \ \ \mu \nu }\mathbf {e} _{\alpha }\otimes \mathbf {d} x^{\beta }\otimes \mathbf {d} x^{\gamma }\otimes \mathbf {e} _{\mu }\otimes \mathbf {e} _{\nu }$。這是一個型別為 $(3,2)$ 的張量。我們可以填充它所有的槽位來得到一個標量

$\mathbf {S} \left(\mathbf {\sigma } ,\mathbf {u} ,\mathbf {v} ,\mathbf {\rho } ,\mathbf {\xi } \right)=S_{\ \beta \gamma }^{\alpha \ \ \mu \nu }\sigma _{\alpha }u^{\beta }v^{\gamma }\rho _{\mu }\xi _{\nu }$

只填充第 3 和第 4 個槽位，我們得到一個型別為 $(2,1)$ 的秩為 3 的張量

$\mathbf {S} \left(\cdot \ ,\cdot \ ,\mathbf {v} ,\mathbf {\rho } ,\cdot \right)=S_{\ \beta \gamma }^{\alpha \ \ \mu \nu }v^{\gamma }\rho _{\mu }\mathbf {e} _{\alpha }\otimes \mathbf {d} x^{\beta }\otimes \mathbf {e} _{\nu }$

最後需要說明的是，在廣義相對論中，我們始終有一個特殊的張量，稱為“度規張量”，它允許我們轉換協變指標到逆變指標，反之亦然。這樣，我們就可以改變張量型別 $(n,m)$，並能夠在給定張量的任何槽位中插入 1-形式或向量。