廣義相對論/什麼是張量？

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一個張量是一個強大的抽象實體。雖然它的抽象性使得它有點難以描述，但我們可以透過一個非抽象的例子來開始瞭解什麼是張量。

假設你正在航海。風從某個方向吹來，可以被描述為一個向量，一個有方向的量。現在有很多方法可以表示這個向量。例如，你可以把它表示為從某個方向的速度（${\vec {w}}$）。或者，你可以把它分解成分量，並描述這個向量為一定量的東風和一定量的南風的組合（${\vec {w}}'$）。但儘管描述這個向量的方式不同，仍然存在這個底層的抽象事物——從某個方向吹來的風速。

現在還有另一個重要的向量——風擊中帆時產生的力。如果力的方向總是與風的方向相同，那麼我們可以用一個標量來表示這種關係，它只需要將風向量乘以一個常數因子就可以得到力向量。

然而，現實並不那麼簡單，因為力並不總是與風的方向相同。事實上，它通常不相同。因此，我們不能用一個簡單的標量來表示風與力之間的關係。然而，有一個重要的有用事實我們可以利用——風速與帆上的力之間是（在低速情況下近似）線性的。也就是說，如果你將風速加倍，你就會將力加倍。從風速計算力的函式是一個線性運算元。這個運算元是線性的這一事實使我們能夠在給定基底的情況下用矩陣來表示它

$T={\begin{pmatrix}x&y\\z&v\end{pmatrix}}$

注意，就像你可以改變表示風速的方式（${\vec {w}}$ 和 ${\vec {w}}'$），以及它產生的力（${\vec {F}}$ 和 ${\vec {F}}'$），你也可以改變表示連線這兩個向量運算元的方式。事實上，每當你改變風和力的表示方式時，你就必須改變矩陣才能談論相同的情況。然而，就像向量是一個可以表示風或風擊中帆時產生的力的抽象事物一樣，還有一種抽象事物可以用來表示這些事物之間的關係。用符號表示

${\vec {F}}=T\cdot {\vec {w}}$ ${\vec {F}}'=T'\cdot {\vec {w}}'$

中間的那個東西，那個 T，就是一個張量的例子。它是透過${\vec {F}}$ 與${\vec {w}}$ 的關係來定義的。張量是真正抽象的事物，但我們現在可以開始看到這種抽象性的力量。你可以用張量進行代數運算。所以，假設你有一個帆 T，而不是一個帆，你有兩個帆 T 和 U。我們可以表示總力

${\vec {F}}=T\cdot {\vec {w}}+U\cdot {\vec {w}}$

由於 T 和 U 是矩陣並且是線性的，所以我們可以將它們合併成一個新的張量 V。

${\vec {F}}=(T+U)\cdot {\vec {w}}$ ${\vec {F}}=V\cdot {\vec {w}}\ \mathrm {where} \ V=T+U\,$

我們也可以將兩個張量相乘。我們得到了風對船產生的力。現在，當風以 $F_{wind}$ 的力作用於船時，船對水產生的力也可以表示為張量（我們對風、帆和船所做的那樣）。

${\vec {F}}_{ocean}=W\cdot {\vec {F}}_{wind}$ ${\vec {F}}_{ocean}=W\cdot V\cdot {\vec {w}}$ ${\vec {F}}_{ocean}=X\cdot {\vec {w}}$ 其中張量 $X=W\cdot V=W\cdot (T+U)\,$ 描述了船和兩塊帆。

那麼什麼是張量呢？

現在我們已經看到一個張量的例子，我們可以更明確地說明張量是什麼。張量是一個**線性函式**。在我們描述的情況下，張量接受一個向量並將其轉換為另一個向量。我們可以更一般地說，張量可以將一個向量轉換為一個標量，或者將一個標量轉換為一個向量。

在這一點上，你應該多少了解為什麼張量在廣義相對論中很重要。廣義相對論是關於物質改變距離工作方式的理論。你如何找到距離？好吧，你取一個向量並將其放入一個函式中。如果距離足夠短，則函式是（近似）線性的，你可以將其描述為張量。

特殊的張量

一個特殊的張量稱為克羅內克δ張量。它只是單位矩陣。

單位矩陣類似於普通加法的 0（將 0 加到一個數字上不會改變它的值）和乘法的 1（將一個數字乘以 1 仍然是它本身）。

單位矩陣通常用 δⁱ_j 表示，其中

$\delta _{j}^{i}=\left\{{\begin{matrix}1&{\mbox{if}}&i=j\\0&{\mbox{if}}&i\neq j\end{matrix}}\right.$

實際上，$\delta _{j}^{i}$ 實際上是一個張量（而不僅僅是一個有兩個索引的符號），這是因為在任何一個座標系中，具有該值的混合張量，在任何座標系中都具有相同的值！從技術上講，我們稱這樣的實體為數值不變張量。

張量的應用

張量在很多地方都有應用。

除了廣義相對論，張量還在**連續介質力學**中得到廣泛應用。張量可用於指定連續介質中任意一點的應力。這樣的張量被稱為**應力張量**。連續介質中任何一個小表面（一點周圍的一小區域）的應力可以透過該應力張量與該表面法向量的單位向量（列向量）的矩陣乘法得到。

廣義相對論簡述

張量可以用來描述兩種事物。

一個是曲率。張量描述了物體彎曲的程度。使用這個張量，你可以做一些事情，比如計算距離和角度，並找出穿越某個空間區域的最短路徑。

第二個是應力-能量，它粗略地表示在特定位置存在多少能量和動量以及它們流動的方向。

廣義相對論的基本方程將這兩個張量聯絡起來。這就是基本思想。其他一切只涉及習慣於進行數學運算。

練習

(注意：我真正想做的是讓人們將答案新增到答案頁面，以便他們可以檢視其他人的答案。所以，請隨意將您的答案新增到這裡)

1) 描述一個張量的例子。

2) 假設你遇到了一種情況，帆對風的響應是非線性的。如何用張量描述這種現象？

3) 壓力可以用張量來表達嗎？