一般環論/推導

定義（導子）:

設$S$ 是一個單位的$R$-代數。此外，設$M$ 是代數$S$ 上的一個模。那麼$S$ 上關於$R$ 以$M$ 為值的導子是一個$R$-模同態$d:S\to M$，使得

$d(st)=sd(t)+td(s)$

對於所有$s,t\in S$ 成立。我們將$S$ 關於$R$ 以$M$ 為值的全體導子的$S$-模記為$\operatorname {Der} _{R}(S,M)$。

定義（泛導子）

:

設$S$ 是一個么元$R$-代數。則$S$ 關於$R$ 的**泛導數**是導數$d:S\to \Omega _{S/R}$，其中$\Omega _{S/R}$ 是透過取由形式符號$ds$（每個$s\in S$ 一個）生成的自由$S$-模併除以由如下形式的元素生成的理想而產生的$S$-模：$d(ts)-tds-sdt$ 以及 $d(rs)-rd(s)$（其中$r\in R$，$t,s\in S$），並且$d$ 將$s$ 對映到$ds$。

命題（泛導數的泛性質）

:

設$S$ 是一個含單位元的 $R$-代數，並設 $M$ 是代數 $S$ 上的一個模。那麼，對於每個 $\delta \in \operatorname {Der} _{R}(S,M)$，存在唯一的 $S$-模同態 $f:\Omega _{S/R}\to M$，使得 $\delta =f\circ d$。這種配對誘導了一個 $R$-模的同構。

$\operatorname {Hom} _{S}(\Omega _{S/R},M)\cong \operatorname {Der} _{R}(S,M)$

.

證明： 為了證明唯一性，注意到泛導數$d$ 是滿射的，因此 $f$ 由 $\delta =f\circ d$ 決定。為了證明存在性，注意到如果 $F$ 是具有生成元 $ds$（對於所有 $s\in S$）的自由 $S$-模，則存在一個態射 $F\to M$ 將 $ds$ 對映到 $\delta (s)$，並且它根據 $\delta$ 的性質，在 $\Omega _{S/R}$ 定義中的商上分解。 $\Box$

命題（泛導數是唯一的）:

單位元 $R$-代數 $S$ 的泛導數及其目標模是唯一確定的。

證明： 這直接由定義對應物件唯一的泛性質得出。 $\Box$