一般環論/理想與乘法封閉集

命題（理想的升鏈是理想）:

令 $\Lambda$ 為一個全序集，並令 $(I_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }$ 為環 $R$ 的左、右或兩邊理想的鏈。那麼

$J:=\bigcup _{\lambda \in \Lambda }I_{\lambda }$

分別是 $R$ 的左、右或兩邊理想。

證明： 事實上，首先令 $a,b\in J$。那麼 $a\in I_{\lambda }$ 且 $b\in I_{\mu }$ 對於某些 $\lambda ,\mu \in \Lambda$。令 $\eta :=\max\{\lambda ,\mu \}$，那麼 $a+b\in I_{\eta }$ 因為我們正在處理一個鏈，因此 $a+b\in J$。對於剩餘的性質，即關於 $R$ 的乘法封閉性，我們證明左理想的情況，因為右理想的證明相同，而對於雙邊理想的結論則可以透過合併其他兩個結論得出（或者直接用相同的方法證明）。因此，假設 $I_{\lambda }$ 是 $R$ 的右理想，並且令 $r\in R$。那麼我們有 $ra\in I_{\lambda }$ 當且僅當 $a\in I_{\lambda }$，但對於每個 $a\in J$ 存在一些 $\lambda$ 使得這種情況成立，因此該結論成立。 $\Box$

命題（存在不與乘法集相交且包含理想的素理想）:

設 $R$ 是一個環，設 $I$ 是 $R$ 的左理想、右理想或雙邊理想，設 $S$ 是 $R$ 的一個乘法封閉子集，使得 $I\cap S=\emptyset$。那麼存在 $R$ 的一個左理想、右理想或雙邊理想 $J$，使得 $J$ 包含 $I$，是素理想，不與 $S$ 相交，並且在所有不與 $S$ 相交的理想中是極大的（關於包含關係）。

(在選擇公理的條件下)

證明： 定義 $\Omega$ 為所有（左、右或雙邊；為了簡潔，在證明的剩餘部分我們將省略這種區別）不與 $S$ 相交併包含 $I$ 的所有理想的集合。這是一個非空集，因為 $I\in \Omega$。此外，給定 $\Omega$ 中關於包含關係的任何升鏈 $(I_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }$，其中 $\Lambda$ 是任何全序集，我們得到

$K:=\bigcup _{\lambda \in \Lambda }I_{\lambda }\in \Omega$;

實際上，$K$ 是一個理想，它當然包含$I$，最終它不與$S$相交。因此，$\Omega$關於包含是歸納的，我們可以根據佐恩引理選擇一個最大元素，我們將其表示為$J$。斷言$J$實際上具有所有必需的屬性。剩下的唯一需要證明的是$J$是一個素理想。$\Box$

TODO: 區分非交換環中的完全素理想和素理想