一般環論/諾特環

定義（右諾特環）:

一個交換環 $R$ 被稱為右諾特環，當且僅當 $R$ 的所有右理想集，按包含關係排序，滿足升鏈條件。

左諾特環的定義類似。

定義（諾特環）:

一個交換環 $R$ 被稱為諾特環，當且僅當 $R$ 的所有理想集，按包含關係排序，滿足升鏈條件。

我們將僅陳述和證明右諾特環的結果，儘管它們對左諾特環和諾特環同樣有效。

命題（諾特環的理想包含其根基的冪）:

設 $R$ 是一個諾特環，設 $I\leq R$ 是一個理想。則存在 $n\in \mathbb {N}$ 使得

${\sqrt {I}}^{n}\subseteq I$.

證明: 設 $i_{1},\ldots ,i_{k}$ 是 $sqrt{I}$ 作為 $R$-模的基礎。然後選擇 $m\in \mathbb {N}$ 足夠大，使得

$\forall j\in [k]:i_{j}^{m}\in I$.

然後定義 $n:=km$ 並觀察到，每當 $a=r_{1}i_{1}+\cdots +r_{k}i_{k}\in {\sqrt {I}}$，則根據鴿巢原理，在展開表示式 $a^{n}$ 並考慮每個加數時，我們發現對於每個加數，至少存在一個 $j\in [k]$，使得 $i_{j}$ 的相應冪大於或等於 $m$。 $\Box$

命題（諾特環的元素是不可約元素的乘積）:

設 $R$ 是一個諾特環，並設 $a\in R$ 是一個非單位元。那麼存在不可約元素 $b_{1},\ldots ,b_{n}$ 使得

$a=b_{1}\cdots b_{n}$.

(在依賴選擇公理的條件下)

證明：實際上，非單位元 $a$ 可分解為 $a=c_{1}c_{2}$，其中 $c_{2}$ 是一個非單位元，且要麼 $c_{2}$ 是不可約的且 $c_{1}$ 是一個單位元，或者 $c_{1},c_{2}$ 都是不可約的，或者 $c_{2}$ 不是不可約的，並且是 $a$ 的一個真因子。同樣地，對於 $c_{2}=c_{3}\cdot c_{4}$ 也是如此，並且透過歸納法，我們得到一個遞增鏈

$\langle a\rangle \subseteq \langle c_{2}\rangle \subseteq \langle c_{4}\rangle \subseteq \langle c_{6}\rangle \subseteq \cdots$

這由諾特假設穩定。但如果選擇足夠大的 $n\in \mathbb {N}$，使得序列在 $c_{2n}$ 之後穩定，則 $c_{2n}$ 是不可約的。因此，我們可以將 $a=d_{1}b_{1}$ 因式分解，其中 $b_{1}$ 是不可約的，並以相同的方式繼續下去，我們再次獲得一個遞增序列，其穩定性意味著所需的因式分解。 $\Box$