命題（交換環擴張是一個模）:
令 R {\displaystyle R} 為交換環，令 S {\displaystyle S} 為 R {\displaystyle R} 的交換環擴張。那麼 S {\displaystyle S} 以及它自己的加法運算和 S {\displaystyle S} 乘法的限制到 R × S {\displaystyle R\times S} 是一個 R {\displaystyle R} 上的模。
證明：根據環的公理，我們推匯出模的公理如下：令 λ , μ ∈ R {\displaystyle \lambda ,\mu \in R} 和 a , b ∈ S {\displaystyle a,b\in S} 。那麼
正在使用的環公理用括號標明。 ◻ {\displaystyle \Box }
命題 ():
令 S / R {\displaystyle S/R} 為環擴張。那麼函式
定義了一個從 S {\displaystyle S} 的理想到 R {\displaystyle R} 的理想的函式。
證明： 事實上， I ∩ R ≤ R {\displaystyle I\cap R\leq R} ，因為它顯然對加法和乘以 R {\displaystyle R} 的元素封閉。 ◻ {\displaystyle \Box }
令 S / R {\displaystyle S/R} 為環擴張，並假設 T ⊆ S {\displaystyle T\subseteq S} 為一個乘法集。 則 T ∩ R {\displaystyle T\cap R} 是 R {\displaystyle R} 的一個乘法集。
證明： T ∩ R {\displaystyle T\cap R} 對乘法封閉，因為 T {\displaystyle T} 和 S {\displaystyle S} 都對乘法封閉。 ◻ {\displaystyle \Box }
（分配律）
（分配律）
（乘法的交換性）
（單位）
