一般拓撲/雜項空間

諾特空間

定義（諾特拓撲空間）:

設 $X$ 為拓撲空間。 $X$ 稱為 **諾特** 當且僅當對於所有開放子集的升鏈

U_{1}\subseteq U_{2}\subseteq \cdots \subseteq U_{n}\subseteq \cdots

存在 $N\in \mathbb {N}$ 使得對於所有 $n\geq N$ ，我們有 $U_{n}=U_{N}$ 。

在後一種情況下，我們說升鏈 $U_{1}\subseteq U_{2}\subseteq \cdots \subseteq U_{n}\subseteq \cdots$ *穩定*。

命題（諾特當且僅當所有開集都是緊的）:

設 $X$ 為拓撲空間。 $X$ 是諾特當且僅當它的所有開放子集都是緊的。

（在依賴選擇公理的條件下。）

證明： 首先假設 $X$ 是諾特空間，並令 $U\subseteq X$ 為開集。令 $(V_{\alpha })_{\alpha \in A}$ 為 $U$ 的一個開覆蓋。根據子空間拓撲的定義，每個 $V_{\alpha }$ 在 $X$ 中是開集。 $U$ 的開覆蓋構造如下：任意選取 $\alpha _{1}$ 。一旦選擇了 $\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{k}$ ，要麼我們已經有了 $U=V_{\alpha _{1}}\cup \cdots \cup V_{\alpha _{k}}$ ，要麼我們可以選擇 $\alpha _{k+1}\in A$ 使得 $V_{\alpha }\not \subseteq V_{\alpha _{1}}\cup \cdots \cup V_{\alpha _{k}}$ 。這個過程必須終止，否則，在定義了

W_{k}:=V_{\alpha _{1}}\cup \cdots \cup V_{\alpha _{k}}

,

後，我們得到一個遞增鏈

W_{1}\subsetneq W_{2}\subsetneq \cdots \subsetneq W_{k}\subsetneq \cdots

它不會穩定。現在假設 $X$ 中的所有開子集都是緊緻的。令

U_{1}\subseteq U_{2}\subseteq \cdots \subseteq U_{n}\subseteq \cdots

為 $X$ 中任何一個遞增的開子集鏈，並定義

U_{\infty }:=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }U_{n}

.

我們立即看到 $(U_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ 是 $U_{\infty }$ 的一個開覆蓋，因此根據其緊緻性，我們可以從中提取出一個有限子覆蓋 $U_{n_{1}},\ldots ,U_{n_{k}}$ ，其中索引為 $n_{1},\ldots ,n_{k}\in \mathbb {N}$ 。現在令 $N:=\max\{n_{1},\ldots ,n_{k}\}$ ，使得對於 $n\geq N$

U_{\infty }\subseteq U_{N}\subseteq U_{n}\subseteq U_{\infty }

，即

U_{n}=U_{\infty }=U_{n}

，

也就是說，遞增鏈穩定下來。 $\Box$

不可約空間

定義（不可約空間）:

令 $X$ 是一個拓撲空間。 $X$ 被稱為 **不可約** 或 **超連通**，如果只要 $U,V\subseteq$ 是非空的開集，那麼 $U\cap V\neq \emptyset$ 。

命題（不可約空間的刻畫）:

令 $X$ 是一個拓撲空間。那麼以下等價

$X$ 是不可約的
當 $A,B\subseteq X$ 是 $X$ 的兩個閉子集，並且它們都不是 $X$ 的全部，那麼 $A\cup B\neq X$
當 $U\subseteq X$ 是一個非空的開集，那麼它是稠密的。
當 $A\subseteq X$ 是閉集，那麼它是稀疏的。

Proof: We prove 1. $\Rightarrow$ 2. $\Rightarrow$ 3. $\Rightarrow$ 4. $\Rightarrow$ 1. Let first $X$ be irreducible, and suppose that $A,B$ are two proper closed subsets of $X$ . Suppose that $A\cup B=X$ , and define $U:=X\setminus A$ and $V:=X\setminus B$ . Then $U\cap V=X\setminus (A\cup B)=\emptyset$ . Suppose now that $U\subseteq X$ is open and nonempty and 2. holds. If $U\subseteq X$ is open, but not dense, $A:={\overline {U}}$ is not all of $X$ , and further $B:=X\setminus U$ is closed and not all of $X$ ( $U$ was nonempty). Therefore, $X=A\cup B$ , the union of two proper closed subsets, which is impossible by 2. Suppose now 3. holds and $A\subseteq X$ is closed. Then $U:=X\setminus A$ is open and hence dense in $X$ . Let $V\subseteq X$ be an arbitrary open subset, and suppose that $A\cap V$ is dense in $V$ . $\Box$