一般拓撲/序拓撲和半連續性

定義（序拓撲）:

令 $(S,\leq )$ 是一個偏序集。 $S$ 上的序拓撲是指具有以下集合作為子基的拓撲

$(a,b):=\{x\in S|a<x<b\}$.

命題（格上的半開區間構成拓撲基）:

令 $(S,\leq )$ 是一個格。 那麼集合

$(a,b):=\{x\in S|a<x<b\}$

構成一個 $\pi$-系統；特別地，它們構成拓撲基。

證明： 我們有

$(a,b)\cap (c,d)=(a\vee c,b\wedge d)$. $\Box$

定理（魏爾斯特拉斯型定理）:

令 $X$ 是一個緊緻拓撲空間，令 $(S,\leq )$ 是一個格。 令 $f:X\to S$ 是關於 $S$ 上的序拓撲連續的。 則 $f(X)$ 在 $S$ 中是有界的。

證明： 集合

$f^{-1}((a,b))$

構成 $X$ 的一個開覆蓋，其中 $a,b$ 在 $S$ 中取值。 由於緊緻性，我們可以找到一個有限子覆蓋

$X=f^{-1}((a_{1},b_{1}))\cup \cdots \cup f^{-1}((a_{n},b_{n}))$.

但是

$(a_{1},b_{1})\cup \cdots \cup (a_{n},b_{n})\subseteq (a_{1}\wedge \cdots \wedge a_{n},b_{1}\vee \cdots \vee b_{n})$,

因此，$f$ 將 $X$ 中的每個點對映到後一個區間。 $\Box$