一般拓撲/分離

假設我們有一個拓撲空間 $X$ 和兩個不同的點 $x,y\in X$。假設進一步說，利用拓撲結構，我們試圖分離這些點，也就是說，找到包含一個點但不包含另一個點的集合。通常這不可能。但有可能的拓撲空間形成了重要的拓撲空間類別，這些類別被稱為滿足分離公理。存在一個重要的分離公理層次結構，它們從 T₀ 到 T₆ 編號，然後是 R₀ 和 R₁ 公理。T 公理關注經典意義上的分離，而 R 公理只關注拓撲可區分點的分離。

定義（拓撲可區分性）:

設 $X$ 是一個拓撲空間，並且設 $x,y\in X$。如果存在一個 $X$ 的開集 $U$ 包含 $\{x,y\}$ 的一個點，但不包含另一個點，那麼稱這兩個點 $x$ 和 $y$ 是拓撲可區分的。否則，$x$ 和 $y$ 被稱為拓撲不可區分的。

定義（T₀ 空間）:

令 $X$ 為拓撲空間。當且僅當對於任意兩個不同的點 $x,y\in X$（即 $x\neq y$），存在 $X$ 的開集 $U$，使得 $U$ 包含 $x$ 或 $y$，但不能同時包含兩者。

換句話說，我們可以將 T₀ 空間定義為任何兩個點在拓撲上都可區分的空間。

下圖展示了這一情況

定義 (T₁ 空間):

令 $X$ 為拓撲空間。當且僅當對於任意兩個不同的點 $x,y\in X$，存在 $X$ 的開集 $U$，使得 $U$ 不包含 $y$，但包含 $x$。

下圖展示了這一情況

我們介紹第一個 R 公理

定義 (R₀ 空間):

R₀ 空間是一個拓撲空間 $X$，其中對於任意一對在拓撲上可區分的點 $x,y$，都存在 $x$ 的鄰域 $U$ 不包含 $y$，以及一個 $y$ 的鄰域 $V$ 不包含 $x$。

命題 (T₁ 空間的刻畫):

令 $X$ 為拓撲空間。以下等價

1. $X$ 是 T₁ 空間
2. X 的所有餘有限子集都是開的
3. X 的所有有限子集都是閉的
4. X 的點是閉的
5. X 同時是 T₀ 和 R₀ 空間

證明：如果 X 是 T₁ 空間，且 x∈X，那麼 X\ {x} 是開的，因為對於 y∈X，我們找到 y 的一個開鄰域 V_y（為了避免選擇公理，可以選擇所有此類鄰域的並集），使得 x∉V_y，然後

X\ {x} = ∪_y≠xV_y.

那麼，$X$ 的每個餘有限子集都是開集，因為它是有限多個開集的交集。由於閉集是開集的補集，所以 3. 成立。3. $\Rightarrow$ 4. 是顯然的。給定兩個不同的點 $x,y\in X$，設 $U:=X\setminus \{y\}$ 和 $V:=X\setminus \{x\}$。那麼 $U$ 和 $V$ 表明 $X$ 是 T₀（任意兩個點在拓撲上是可區分的）且 R₀（如果某個語句對任意兩個點都成立，則對拓撲上可區分的點也成立）。最後假設 $X$ 同時是 T₀ 和 R₀。設 $x,y$ 是任意兩個不同的點。由於 $X$ 是 T₀，$x,y$ 在拓撲上是可區分的，並且由於 $X$ 是 R₀，我們找到 $x$ 的鄰域 $U$ 和 $y$ 的鄰域 $V$，使得 $y\notin U$ 且 $x\notin V$。$\Box$

定義（R₁ 空間）:

如果對於拓撲空間 $X$ 中的任何兩個拓撲可區別的點 $x,y$ ，都存在 $x$ 的開鄰域 $U$ 和 $y$ 的開鄰域 $V$ ，使得 $U\cap V=\emptyset$ ，則該拓撲空間被稱為 R₁ 空間。

迄今為止，最常見的滿足分離公理的空間類別是豪斯多夫空間。

定義（豪斯多夫空間）:

設 $X$ 是一個拓撲空間。如果對於任何兩個不同的點 $x,y\in X$ ，存在 $X$ 的兩個開集 $U$ 和 $V$ ，使得 $U\cap V=\emptyset$ ， $x\in U$ 且 $y\in V$ ，則稱該拓撲空間為 **豪斯多夫空間** 。

這種情況在下圖中有所體現。

命題（豪斯多夫空間中有限多個點的分離）:

令 $X$ 是一個豪斯多夫拓撲空間，並令 $x_{1},\ldots ,x_{n}$ 是 $X$ 中的互不相同的點。 那麼存在 $x_{j}$ 的鄰域 $U_{j}$ ($j\in [n]$)，使得對於 $j\neq k$，我們有 $U_{j}\cap U_{k}=\emptyset$。

Proof: We proceed by induction on $n$. The case $n=1$ is trivial. Suppose the claim holds true for $n-1$, and let $x_{1},\ldots ,x_{n}$ be distinct points in $X$. By induction, choose neighbourhoods $V_{1},\ldots ,V_{n-1}$ of $x_{1},\ldots ,x_{n-1}$ respectively such that $V_{j}\cap V_{k}=\emptyset$ for $j\neq k$. Since $X$ is Hausdorff, we find for all $j\in [n-1]$ neighbourhoods $W_{j},U_{j}$ of $x_{j}$ resp. $x_{n}$ such that $W_{j}\cap U_{j}=\emptyset$. Then set $O_{n}:=\bigcap _{j=1}^{n-1}U_{j}$ and for $j\in [n-1]$ set $O_{j}:=V_{j}\cap W_{j}$. Then $O_{1},\ldots ,O_{n}$ is a set of open sets as desired. $\Box$

豪斯多夫空間位於 T₀ 到 T₆ 拓撲空間的分類體系中。

定義 (T₂ 空間):

T₂ 空間是豪斯多夫空間。

命題 (R-公理刻畫豪斯多夫空間):

令 $X$ 是一個拓撲空間。 $X$ 是豪斯多夫空間當且僅當 $X$ 是 T₀ 且 R₁。

證明: 如果 $X$ 是豪斯多夫空間，它當然是 T₀ 且 R₁。 另一方面，如果它是 T₀，所有點在拓撲上是不可區分的，因此對於任意兩點 $x,y\in X$ 我們發現 $U,V$ 是開集，並且 $x\in U$，$y\in V$ 並且 $U\cap V=\emptyset$。 $\Box$

命題 (對角線準則判斷豪斯多夫空間):

令 $X$ 為一個拓撲空間，並令 $\Delta \subseteq X\times X,\Delta :=\{(x,x)|x\in X\}$ 為對角線。 那麼 $X$ 是豪斯多夫空間當且僅當 $\Delta \subseteq X\times X$ 是閉集，其中我們考慮 $X\times X$ 為具有積拓撲的拓撲空間。

Proof: Let $x,y\in X$ be arbitrary. $X$ being Hausdorff means that there exist open neighbourhoods $y\in U_{y}$ and $x\in U_{x}$ so that $U_{x}\cap U_{y}=\emptyset$. If that is always the case, then whenever $(x,y)$ is not in $\Delta$ and $U_{x},U_{y}$ are so chosen, then $U_{x}\times U_{y}$ is a neighbourhood of $(x,y)$ in $X\times X\setminus \Delta$, so that the diagonal is closed as the complement of an open set. Conversely, if $\Delta$ is closed, let $x,y\in X$ be arbitrary and not equal to each other. Then $(x,y)\notin \Delta$, and since $X\times X\setminus \Delta$ is open, by definition of the product topology we find open sets $U_{y}$ and $U_{x}$ of $X$ so that $(x,y)\in U_{x}\times U_{y}$ and $U_{x}\times U_{y}\in X\times X\setminus \Delta$. From the first of these conditions we deduce that $x\in U_{x}$ and $y\in U_{y}$, and from the second we deduce that $U_{x}\cap U_{y}\neq \emptyset$, since any $z\in U_{x}\cap U_{y}$ would yield $(z,z)\in U_{x}\times U_{y}$. $\Box$

定義（烏雷松空間）:

一個拓撲空間 $X$ 被稱為烏雷松空間，當且僅當對於所有不同的點 $x,y\in X$ 我們能找到 $x$ 和 $y$ 的閉鄰域 $A,B$ 使得 $A\cap B=\emptyset$.

命題（烏雷松空間是豪斯多夫空間）:

令 $X$ 為一個烏雷松空間。 那麼 $X$ 是豪斯多夫空間。

證明： 令 $x,y\in X$ 使得 $x\neq y$，並選擇 $x$ 和 $y$ 的閉鄰域 $A,B$ 使得 $A\cap B=\emptyset$。然後根據點鄰域的定義，選擇 $U\subseteq A$ 和 $V\subseteq B$ 開集，使得 $x\in U$，$y\in V$。然後 $U,V$ 是 $x$ 和 $y$ 的鄰域，滿足豪斯多夫條件的要求。 $\Box$

定義 (T_2½ 空間):

拓撲空間 $X$ 是一個 T_2½ 空間 當且僅當它是一個烏雷松空間。

也存在更強的分離條件。它們通常是在封閉集方面進行表述的，因此它們並不完全符合 T 軸公理層次結構（你會明白我的意思），但將它們與一個小的 T 軸公理（即 T₀ 或 T₁）結合起來，我們可以得出 T 軸公理層次結構中相應的公理。

定義 (正則空間):

令 $X$ 為拓撲空間。 $X$ 是 **正則** 的，當且僅當對於每一個閉集 $A\subseteq X$ 和每一個點 $x\in X\setminus A$，都存在開集 $U,V\subseteq X$ 使得 $x\in U$，$A\subseteq V$ 且 $U\cap V=\emptyset$.

命題（正則空間的特徵是存在閉鄰域基本系統）:

令 $X$ 為拓撲空間。 $X$ 是正則的，當且僅當對於所有的 $x\in X$ 都存在一個由閉集組成的 $N(x)$ 基本系統。

證明： 首先假設每個 $N(x)$ ($x\in X$) 具有閉集的基本系統。令 $A\subseteq X$ 為任意閉集，並令 $x\in X\setminus A$。現在 $U:=X\setminus A$ 是 $x$ 的一個開鄰域。由於 $x$ 具有由閉鄰域構成的基本系統，選擇一個閉集 $B\subseteq U$ 使得 $x\in B$。由於 $B$ 是 $x$ 的一個鄰域，選擇一個開集 $V\subseteq B$ 使得 $x\in U$。那麼 $V$ 和 $X\setminus B$ 在正則空間的定義中起作用。

假設現在$X$是正則的，設$x\in X$，設$U$ 是$x$ 的任意開鄰域。斷言$U$包含$x$ 的閉鄰域。事實上，令$A:=X\setminus U$。由正則性，選取$x$ 的鄰域$V$ 和一個包含$A$ 的開集$W$ 使得$V\cap W=\emptyset$。那麼$B:=X\setminus W$ 就是所求的閉鄰域，因為它包含$x$ 的開鄰域$V$。 $\Box$

定義 (T₃ 空間):

一個T₃ 空間是一個滿足 T₀ 和正則的拓撲空間。

命題 (T₃ 空間是 Urysohn 的):

設$X$ 是一個 T₃ 空間。那麼$X$ 是一個 Urysohn 空間。

證明： 由於 $X$ 是正則的，所以對於每個點都存在鄰域系的閉包基本系。 因此，設 $x,y\in X$ 是任意兩個不同的點。只需證明它們可以透過不相交的開鄰域分離。根據 T₀ 性質，不妨設 $U$ 是 $x$ 的一個開鄰域，使得 $y\notin U$。設 $A:=X\setminus U$，它是閉集且包含 $y$。由於 $X$ 是正則的，我們可以選取不相交的開集 $V$ 和 $W$，使得 $x\in V$，$A\subseteq W$ 並且 $V\cap W=\emptyset$。 $\Box$

定義（完全正則空間）:

設 $X$ 是一個拓撲空間。 $X$ 是一個完全正則空間當且僅當對於所有閉集 $A\subseteq X$ 和點 $x\in X\setminus A$，我們都能找到一個連續函式 $f:X\to [0,1]$，使得 $f(x)=0$ 並且 $\forall z\in A:f(z)=1$。

命題（完全正則空間是正則的）:

令 $X$ 為一個完全正則空間。那麼 $X$ 是正則的。

證明：令 $x\in X$，並令 $A\subset X$ 為閉集，使得 $x\notin A$。由於 $X$ 是完全正則的，選擇一個連續函式 $f:X\to [0,1]$ 使得 $f(x)=0$ 且 $f(z)=1$ 對於 $z\in A$。然後設定 $U:=f^{-1}([0,1/3))$ 和 $V:=f^{-1}((2/3,1])$，並觀察到 $U$ 和 $V$ 根據 $[0,1]$ 的子空間拓撲的定義是開集，即 $U\cap V=f^{-1}([0,1/3)\cap (2/3,1])=\emptyset$，並且當然有 $x\in U$，$A\subseteq V$，因此 $X$ 是正則的。 $\Box$

定義 (T_3½ 空間):

一個 T_3½ 空間 既是 T₀ 空間，又是完全正則空間。

命題 (T_3½ 空間是 T₃ 空間):

令 $X$ 為一個 T_3½ 空間。那麼 $X$ 是 T₃。

證明: 根據定義，它是 T₀，並且由於完全正則空間是正則的，因此它是正則的。 $\Box$

定義（正規空間）:

正規空間是一個拓撲空間，對於所有閉合的不相交子集 $A,B\subset X$，$A\cap B=\emptyset$，都存在開集 $U,V$ 使得 $A\subseteq U$，$B\subseteq V$ 以及 $U\cap V=\emptyset$。

定義（T₄ 空間）:

T₄ 空間是一個既是 T₁ 又正規的拓撲空間。

下圖展示了這一情況

定理（烏里松引理）:

令 $X$ 為一個正規空間，並令 $A,B\subseteq X$ 為 $X$ 的兩個閉合不相交子空間。那麼我們可以找到一個連續函式 $f:X\to \mathbb {R}$ 使得 $f(x)=0$ 對於所有 $x\in A$ 以及 $f(y)=1$ 對於所有 $y\in B$。

（關於依賴選擇條件。）

證明： 我們證明如果給定一個 $U$ 的 $X$ 開集和一個 $A\subseteq U$ 的閉集，那麼我們可以找到一個連續函式 $f:X\to \mathbb {R}$ 使得 $f$ 在 $A$ 內部為零，在 $U$ 外部為 $1$；然後透過定義 $U:=X\setminus A$ 並應用我們的輔助結果，就可以得到定理。

實際上，注意到由於 $X$ 是正規的，我們找到一個開集和一個閉集（我們用 $U_{1/3}$ 和 $A_{2/3}$ 表示它們）使得 $A\subseteq U_{1/3}\subseteq A_{2/3}\subseteq U$。我們現在重複這個過程；也就是說，對於每個 $k\in \mathbb {N}$，我們構造一個序列

$A\subseteq U_{1/3^{k}}\subseteq A_{2/3^{k}}\subseteq U_{1/3^{k-1}}\subseteq A_{4/3^{k}}\subseteq \cdots \subseteq U$

由正規性以及我們在 $k-1$ 步中得到的序列（這需要依賴選擇公理）。然後我們定義

$f(x):=\sup\{n/3^{k}|k\in \mathbb {N} ,0\leq n\leq 3^{k},x\notin S_{n/3^{k}}\}$,

where we define $S_{n/3^{k}}$ to equal $U_{n/3^{k}}$ or $A_{n/3^{k}}$, depending on whether $n$ is even or odd, and $A_{0}:=A$ and $U_{1}:=U$. We then have $f(x)=0$ for $x\in A$ and $f(x)=1$ for $x\notin U$, and further $f$ is continuous; indeed, it is continuous at each point, since if we set $y_{0}:=f(x_{0})\in [0,1]$ for a fixed $x_{0}\in X$ and fix an $\epsilon >0$, then we choose $k$ sufficiently large so that $1/3^{k-1}<\epsilon$ and then $n\in \mathbb {N}$ so that $x\in S_{n/3^{k}}\setminus S_{(n-1)/3^{k}}$ (if $x\in A$, then $U_{1/3^{k}}$ is a neighbourhood that will map wholly to $[0,\epsilon )$) and then either $n$ is even, so that $U_{(n+1)/3^{k}}\setminus A_{(n-2)/3^{k}}$ maps to $[0,\epsilon )$ (note $n\geq 2$ if $n\neq 0$ and even), or $n$ is odd and $U_{n/3^{k}}\setminus A_{(n-1)/3^{k}}$ is a neighbourhood of the desired form. $\Box$

命題（T₄ 空間是 T_3½）:

設 $X$ 是一個 T₄ 空間。那麼 $X$ 是一個 T_3½ 空間。

（關於依賴選擇條件。）

證明： 根據烏雷松引理，我們只需注意到 $X$ 中的所有點都是閉集。但是這確實是這種情況，因為 $X$ 是 T₁。 $\Box$

定理（蒂策-烏雷松定理）:

設 $X$ 是一個正規空間，設 $A\subset X$ 是一個閉集，設 $f:A\to \mathbb {R}$ 是一個連續函式。那麼存在一個連續函式 $F:X\to Y$ 使得 $F\upharpoonright _{A}=f$.

證明： $\Box$

練習

1. 設 $X$ 是一個有限集。證明 $X$ 上恰好存在一個豪斯多夫拓撲，並找出它是什麼。
2. 設 $X$ 為拓撲空間。證明當加入空集後，滿足 $X\setminus U$ 是有限集的集合 $U\subseteq X$ 在 $X$ 上形成拓撲（這種拓撲稱為餘有限拓撲）。此外證明，如果 $X$ 是無限集，那麼它連同這種拓撲是 $T_{1}$ 空間，但不是豪斯多夫空間。
3. 設 $X$ 為一個拓撲空間，其拓撲是由函式族 $f_{\alpha }:X\to X_{\alpha }$ 誘導的初拓撲。證明 $X$ 是 T₀ 空間當且僅當對 $X$ 中的任意 $x\neq y$，存在一個 $\alpha$ 使得 $f_{\alpha }(x)$ 和 $f_{\alpha }(y)$ 在拓撲上可區分。