小學幾何/直角座標系

小學幾何
座標	直角座標系	極座標系

直角座標系，或笛卡爾座標系，是一種定位物體的方法。它是由一位名叫笛卡爾的數學家發明的。它類似於地理或計算機素養中的座標系，但並不完全相同。

基本概念

直角座標系，或笛卡爾平面，由兩條軸組成，即 x 軸和 y 軸。x 軸是水平軸，而 y 軸是垂直軸。這兩條軸的交點稱為原點，通常用字母 O 表示。在 x 軸和 y 軸上有刻度，它與統計圖中的刻度非常相似，只是這裡有負數。事實上，它們看起來像數軸，一條水平，一條垂直，並且它們的 '0' 點重合。

我們可以用有序對在座標系中定位一個點。有序對由兩個數字組成：即兩個軸的讀數。我們將 x 的讀數放在前面，然後是 y，就像這樣： (x, y)。座標系被分成四個部分：第一象限 (象限 I)、第二象限 (象限 II)、第三象限 (象限 III) 和第四象限 (象限 IV)。四個象限的位置可以在右側的圖中找到。一個點可以位於這些象限中的任何一個、x 軸、y 軸或原點。我們可以透過觀察點的座標來找出有序對的一些基本性質。

象限 I： (x, y)
象限 II： (-x, y)
象限 III： (-x, -y)
象限 IV： (x, -y)
x 軸： (x 或 -x, 0)
y 軸： (0, y 或 -y)
原點： (0, 0)

在確定點的有序對時，請記住，刻度不一定是 1 對 1 的。這意味著數字不必按照 0, 1, 2, 3, 4 的順序排列。它們也可以按照 0, 2, 4, 6, 8 甚至 5, 10, 15, 20 的順序排列。

如果你完全確定兩個點構成一條水平線或垂直線，水平線的定義是平行於 x 軸，垂直線的定義是平行於 y 軸，那麼你可以參考另一個點，在沒有刻度的幫助下找到一個點或兩個點的座標。例如，如果 P (3, 4) 與 Q (3, y) 位於同一條垂直線上，那麼 y = 4。

確定長度和麵積

我們用一個複雜的問題來介紹下一部分（見右側的圖）。
已知

XD//YE

求

QP 的長度
所有陰影區域的面積之和
如果 F: (-2, -3)，求 I 的座標

乍一看有點複雜，所以我們先從第一象限的直線 QP 開始，這條線看起來比較容易。如果可以，我們將計算出所有未知數，並解決第一個目標。首先，讓我們看一下 P 的座標。它們是 (1, 2)。由於 P 和 Q 位於同一條水平線上，所以它們的 y 座標必須相同。因此，Q 的座標必須是 (3, 2)。換句話說，z = 2。要找到 PQ 的長度，我們只需找到它們 x 座標的差；在本例中，3 - 1 = 2 個單位。因此，QP = 2 個單位。在數學表示中，這將是

${\begin{aligned}\because {\text{The }}y{\text{-coordinate of }}P=2\\\therefore z=2\end{aligned}}$

${\begin{aligned}{\text{The length of }}\ PQ&=3-1\\&=2{\text{ units}}\end{aligned}}$

很好！現在我們已經解決了第一個目標，讓我們繼續處理第二象限的小三角形。同樣，我們將計算出所有未知數。首先，讓我們看一下 C 的 x 座標。我們已經知道 z = 2，所以 -z 必須是 -2，因此 C 的 x 座標也是 -2。那麼 y 座標呢？我們知道 B 和 C 位於同一條水平線上，所以它們的 y 座標必須相同。因此，C 的 y 座標也必須是 1，並且 y = 1。B 的 x 座標，稱為 x，也是未知的。由於 A 和 B 位於同一條垂直線上，所以它們的 x 座標必須相同。因此，我們可以推斷 x = -4。在數學表示式中

${\begin{aligned}{\text{The }}\ x{\text{-coordinate of }}\ C&=-z\\&=1\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\because {\text{The }}y{\text{-coordinate of }}B=1\\\therefore y=1\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\because {\text{The }}x{\text{-coordinate of }}A=-4\\\therefore x=-4\end{aligned}}$

接下來，我們將找出三角形ABC的面積。這在尋找陰影區域的總面積時將非常有用。在我們這樣做之前，我們必須找出三角形的高度和底邊。你還記得三角形面積公式嗎？它是高度乘以底邊除以二。讓我們選擇BC作為三角形的底邊。由於AB和BC相互垂直，AB可以作為高度。由於BC是水平的，BC的長度是B和C的x座標之差。那就是-4和-1，所以BC的長度是[(-1)-(-4)]個單位=3個單位。對於AB，情況相反。由於AB是一條垂直線，我們應該找出它們的y座標之差。在這種情況下，那就是(3-1)個單位=2個單位。因此，三角形ABC的面積是(3-2)平方單位=1平方單位。讓我們看看數學表示式中的情況。

${\begin{aligned}{\text{The length of }}\ BC&=x-(-z){\text{ units}}\\&=[(-1)-(-4)]{\text{ units}}\\&=3{\text{ units}}\end{aligned}}$

${\begin{aligned}{\text{The length of }}\ AB&=3-1{\text{ units}}\\&=2{\text{ units}}\end{aligned}}$

${\begin{aligned}{\text{The area of }}\ \triangle ABC&={\frac {BC\times AB}{2}}{\text{ sq. units}}\\&={\frac {3\times 2}{2}}{\text{ sq. units}}\\&=3{\text{ units}}\end{aligned}}$

現在我們只需要算出兩個底部象限中圖形的面積。該圖形的形狀像一個梯形，一邊粘著一個三角形，中間有一個洞。利用我們之前學到的知識，你應該能夠算出a=-4，b=-6。請注意，我們已經從上面知道了-z的值，它是-2。現在我們必須找到梯形、三角形和正方形孔的面積。讓我們先算出三角形的面積。從Z畫一條虛線垂直於XY，並將其命名為R。R的座標是(-4,-5)，參考點X和Z。ZR和XY的長度應該是1和4，所以三角形XYZ的面積一定是2平方單位。詳細資訊如下所示的數學表示式。

${\begin{aligned}\because {\text{The }}x{\text{-coordinate of }}X=-4\\\therefore a=-4\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\because {\text{The }}y{\text{-coordinate of }}Y=-6\\\therefore b=-6\end{aligned}}$

${\begin{aligned}{\text{The }}y{\text{-coordinate of }}D=-z\\=-2\end{aligned}}$

${\begin{aligned}{\text{The length of }}\ ZR&=(-5)-(-4){\text{ units}}\\&=1{\text{ units}}\end{aligned}}$

${\begin{aligned}{\text{The length of }}\ XY&=(-2)-(-6){\text{ units}}\\&=4{\text{ units}}\end{aligned}}$

${\begin{aligned}{\text{The area of }}\ \triangle XYZ&={\frac {ZR\times XY}{2}}{\text{ sq. units}}\\&={\frac {1\times 4}{2}}{\text{ sq. units}}\\&=2{\text{ sq. units}}\end{aligned}}$

現在我們需要找到直角梯形的面積。你還記得梯形面積公式嗎？它是平行線之和乘以高，再除以2。我們需要找到平行線的長度和高度才能找到面積。我們已經知道高度 _XY_。_XD_ 和 _YE_ 的長度分別為9和8，所以梯形的面積為34平方單位。具體細節如下。

${\begin{aligned}{\text{The length of }}\ XD&=(-4)-5{\text{ units}}\\&=9{\text{ units}}\end{aligned}}$

${\begin{aligned}{\text{The length of }}\ YE&=(-4)-4{\text{ units}}\\&=4{\text{ units}}\end{aligned}}$

${\begin{aligned}{\text{The area of trapezium}}\ XYDE&={\frac {(XD+YE)\times XY}{2}}{\text{ sq. units}}\\&={\frac {(9+4)\times 4}{2}}{\text{ sq. units}}\\&=26{\text{ sq. units}}\end{aligned}}$

下一步是找到正方形的面積。正方形的公式是邊長的平方，所以正方形 _FGHI_ 的面積是 _z_²= 2² 單位 = 4 單位。

${\begin{aligned}{\text{The area of square}}\ FGHI&=FI^{2}{\text{ sq. units}}\\&=z^{2}{\text{ sq. units}}\\&=2^{2}{\text{ sq. units}}\\&=4{\text{ sq. units}}\end{aligned}}$

第二點的最後部分是利用我們在前面章節中學到的關於平面形狀的知識來計算陰影區域的總面積。首先要找到第三和第四象限圖形的總面積。第三和第四象限的陰影面積 = 五邊形 XZYED 的面積 - 正方形 FGHI 的面積 = 三角形 XYZ 的面積 + 梯形 XYDE 的面積 - 正方形 FGHI 的面積 = (2+26-4) 平方單位 = 24 平方單位。接下來，我們將它新增到三角形 ABC 的面積，得到 (24+3) 平方單位 = 11 平方單位。數學表示式如下所示。

${\begin{aligned}&{\text{The shaded area in quadrants III and IV }}\\&={\text{Area of }}\triangle XYZ{\text{ sq. units}}+{\text{Area of trapezium }}XZYED-{\text{Area of square }}FGHI\\&=(2+26-4){\text{ sq. units}}\\&=24{\text{ sq. units}}\end{aligned}}$

${\begin{aligned}{\text{The sum of all shaded areas }}&=(24+3){\text{ sq. units}}\\&=27{\text{ sq. units}}\end{aligned}}$

由於我們已經完成了兩個目標，現在是時候找到第三個目標了。第三個目標需要一種與我們上面使用的技術相反的技術。您可能已經注意到，第三個目標與其他目標不同，它需要找到座標，而不是度量。請記住，我們從問題中知道的唯一座標是點F的座標。還要記住，正方形的四條邊都相等。由於我們可以根據線段端點的座標找到線段的長度，因此我們可以根據線段的長度找到端點的座標。

那麼，我們到底要怎麼做呢？F的座標是 (-2, -3)。我們可以找到I的y座標，我們已經知道它與F的y座標相同。因此，y座標是 -3。但是x座標呢？由於我們知道FI = z = 2 個單位，我們可以算出I的x座標為 [(-2)+2)] 個單位 = 4 個單位。請記住，我們要找的端點的座標相對於已經知道的端點的座標位置很重要。如果I位於F的右側，而不是左側，則它的x座標將為 [(-2)-2)] 個單位 = -4 個單位。如果I位於F的上方或下方，它們的x座標將相同，而I的y座標將為 [(-3)-2)] 個單位 = -5 個單位（下方）或 [(-3)+2)] 個單位 = -1 個單位（上方）。

${\begin{aligned}\because {\text{The }}y{\text{-coordinate of }}F=-3\\\therefore {\text{The }}y{\text{-coordinate of }}I=-3\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\because FI=z\\=2{\text{ units}}\end{aligned}}$
${\begin{aligned}\therefore {\text{The }}x{\text{-coordinate of }}I=[(-2)+2)]\\&=4\end{aligned}}$

就是這樣！我們不僅學習瞭如何在矩形座標系中找出形狀的長度和麵積以及點的座標，還看到了一個重要的例子，說明了如何計算面積。