小學幾何/相似形

在本章中，我們將開始討論相似性和相似性定理。我們說兩個圖形相似，如果它們具有相同的形狀但大小不同。相似圖形有三個共同點：對應邊（corr. sides）、對應角（corr. ∠s）和對應點（corr. points）。我們只會討論相似三角形。

全等三角形

三角形$\triangle ABC$和$\triangle DEF$相似當且僅當以下所有條件成立

1. 邊${\overline {AB}}$與${\overline {DE}}$成比例。（對應邊）
2. 邊${\overline {BC}}$與${\overline {EF}}$成比例。（對應邊）
3. 邊${\overline {AC}}$與${\overline {DF}}$成比例。（對應邊）
4. 角$\angle ABC$等於$\angle DEF$。（對應角）
5. 角$\angle BCA$等於$\angle EFD$。（對應角）
6. 角$\angle CAB$等於$\angle FDE$。（對應角）

請注意，頂點的順序很重要。$\triangle ABC$和$\triangle ACB$即使都指的是同一個三角形，也可能不相似。請記住，對應點的位置必須在兩個三角形上相同。

相似性定理給出了一組最少的條件，這些條件足以證明兩個三角形相似。它們是三邊成比例、AAA和兩邊之比，包括∠。我們稍後會討論它們。

已知相似三角形求未知數

假設我們有兩個三角形，$\triangle ABC$ 和 $\triangle DEF$，它們全等。AB=3，BC=5，EF=10，∠F=90° 且 ∠E=60°。我們需要求出DE和∠A。以下是解題方法

${\begin{aligned}\angle F+\angle E+\angle D&=180^{\circ }{\text{ (}}\angle {\text{ sum of }}\triangle {\text{)}}\\90^{\circ }+60^{\circ }+\angle D&=180^{\circ }\\\angle D&=180^{\circ }-90^{\circ }-60^{\circ }\\&=30^{\circ }\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\because \triangle ABC&\sim \triangle DEF{\text{ (given)}}\\\therefore {\frac {DE}{AB}}&={\frac {EF}{BC}}{\text{ (corr. sides, }}\sim \triangle {\text{s)}}\\{\frac {DE}{3}}&={\frac {10}{5}}\\DE&={\frac {10}{5}}\times 3\\DE&=6\\\And \angle A&=\angle D{\text{ (corr. }}\angle {\text{s, }}\sim \triangle {\text{s)}}\\\angle A&=30^{\circ }\end{aligned}}$