加速器物理中的非線性動力學指南/定義

相空間

相空間指的是動力學發生的空間。為了用哈密頓量描述動力學，必須指定位置和動量，${\vec {x}}$ 和 ${\vec {p}}$。雖然一般的相空間可能是具有非平凡拓撲結構的 2N 維流形（例如，擺的位置座標會連接回自身），但是通常，相空間是 $\mathbb {R} ^{2N}$。

可觀測量或函式

一個可觀測量或簡稱為函式是從相空間到 $\mathbb {R}$ 的函式。它們可以用多元多項式表示，或者用截斷的泰勒級數近似。一個分佈的例子是

$\epsilon =\gamma x^{2}+2\alpha xp+\beta p^{2}$

可觀測量或函式可以與對映組合。見後文。

對映

一個對映是相空間到自身的一個函式。它可以用可觀測量或函式的向量表示。對映可以相加和乘以一個標量。一個對映可以是一個常數對映

$M:{\vec {z}}\to {\vec {z}}_{0}$

一個對映可以是線性的。如果 A 是一個矩陣

$M={\rm {map}}(A,{\vec {z}}):{\vec {z}}\to A{\vec {z}}.$

一個對映也可以是非線性的。

$M={\rm {map}}(z_{1}=f_{1}(z_{1},z_{2},...),z_{2}=f_{2}(z_{1},z_{2},...):z_{1}\to A{\vec {z}}.$

函式可以與對映組合。

如果相空間中的一個點具有座標 $(x,p)$，$f(x,p)$ 是一個可觀測量，$M=(m1(x,p),m2(x,p))$ 是一個對映，其中 $m1,m2$ 是可觀測量，合成定義為

$f(M)=f(x=m1(x,p),p=m2(x,p))$.

合成可以擴充套件到函式向量，因此也適用於對映。對映透過合成運算形成代數。

我們用 $()$ 或 $\circ$ 或空來表示合成。

如果 $A$ 是一個對映，而 $f$ 是一個函式，我們用以下符號表示合成運算：

$f(A)=f\circ A=Af$

如果 A、B 是對映，我們用以下符號表示合成運算：

$A(B)=A\circ B=BA$,

例如，如果

$M_{1}=(x=x+pl,p=p)\qquad M_{2}=(x=x,p=p+kx)\qquad f=x^{2}$

$M_{1}(f)=(x+pl)^{2}$

$M_{1}(M_{2})=M_{2}M_{1}=(x=x+(p+kx)l,p=p+kx)$

請注意，如果 A 和 B 是矩陣

${\rm {map}}(A)\circ {\rm {map}}(B)={\rm {map}}(B){\rm {map}}(A)={\rm {map}}(AB)$

人們可以將跟蹤程式碼視為計算對映的演算法，該對映是單圈對映的近似值。

運算子

一個運算子是一個將一個函式轉換為另一個函式的函式。對映也是一個運算子。運算子可以由函式生成，例如導數運算子、向量場、李運算子。運算子可以組合起來形成例如指數運算子。

導數運算子

一個導數運算子由各種導數的冪和乘以分佈組成。例如向量場和李運算子。

向量場

一個形式為$f(x,p)\partial _{x}+g(x,p)\partial _{p}$的微分運算子。

動力系統

動力系統可以透過求解以下問題來定義：

$\partial _{t}x(t)=f(x)$

其中$x(t)$是$\mathbb {R} ^{n}$中的軌跡，$f(x)$是一個對映。

如果我們有興趣找到$g(x)\circ x(t)$，其中$g$通常是一個對映，則解可以寫成

$g(x(t))=\exp(tf(x)\cdot \partial _{x})g(x)=\exp(v_{f})g(x)$

其中$v_{f}=tf(x)\cdot \partial _{x}$是一個向量場，並且

$\exp(v_{f})=1+v_{f}+{\frac {1}{2}}v_{f}v_{f}+\ldots$

該方法可用於例如求解從初始條件$x_{0}$開始的微分方程。首先定義$g(x)=x$

然後計算

$s(x,t)=\exp(v_{f})x$

然後用 $x_{0}$ 代替 s 中的 $x$，解將為 $s(x_{0},t)$。

李運算元

當對映由 $f=J{\rm {grad}}H=J\partial H$ 定義時，向量場的特例，其中 $J$ 是辛矩陣。

如果 $H$ 是 $x$ 和 $p$ 的函式。

$v_{f}=-\partial _{p}H\partial _{x}+\partial _{x}H\partial _{p}$.

在文獻中它通常表示為

$:H:$

使得

$:H:g=[H,g]$

其他概念

微分代數

具有導數性質的代數。與非標準分析領域有關。TPSA 向量是近似的例子。另見 [1]

TPSA

截斷冪級數代數。所有在特定階數截斷的冪級數的代數。冪級數可以相加，相乘。可以為它們定義解析函式。冪級數可以與映射覆合。例如：epsilon(z)。

k-射流

在特定階數 $k$ 截斷的冪級數向量。如果生成對映將原點對映到原點，則複合對映可以表示為 K-射流。另見 [2]

複合對映

由對映或函式生成的運算元，相當於對映與另一個對映的複合。如果生成對映將原點對映到原點，則複合對映可以表示為 k-射流。

李變換

透過對李運算元求指數而產生的變換。特別地，如果 :f: 是李運算元，則 $e^{:f:}$ 是李變換。當在更一般的環境中定義時，李變換構成一個群，一個李群，它也是一個拓撲群。

李代數

一般來說，任何向量場，如果它也具有滿足以下性質的乘法性質

• 雙線性
• 反對稱
• 雅可比恆等式

在經典動力學中，指具有泊松括號作為乘法的相空間函式，或具有對易作為乘法的李運算元

弗洛凱空間

粒子在其中以圓周運動的歸一化空間。與弗洛凱定理有關，該定理在固體物理學中更常被稱為布洛赫定理。另見 [3]

BCH 公式

一個將兩個指數運算元的組合關聯到單個運算元的公式。對於有限矩陣，我們陳述

$e^{A}e^{B}=e^{C}$

其中 C 由 A 和 B 的巢狀對易子的和組成。由於公式 [:f:,:g:]=:{f,g}:，這在李運算元的情況下推廣到以下陳述

$e^{:f:}e^{:g:}=e^{:h:}$

其中 h 是相空間上的分佈。但是，我們注意到，這只是一個純粹的形式關係，實際上可能會由於缺乏收斂性而失效。h 可以用不同的形式以不同形式的級數表示，具體取決於什麼被認為是展開引數。如果 f 和 g 都被認為很小，那麼

$h=f+g+{\frac {1}{2}}:f:g+{\frac {1}{12}}(:f:^{2}g+:g:^{2}f)+...$

如果僅考慮 g 很小，則

$h=g+{\frac {:g:}{e^{:g:}-1}}f+...$