加速器物理非線性動力學指南/線性運動

本章提供描述線性運動的工具

單個粒子的線性動力學

對於線性動力學的情況，運動可以用一個 2N x 2N 矩陣來表示。這個矩陣將相空間點對映到相空間點。讓我們用 ${\vec {z}}_{0}$ 來表示初始相空間點。那麼變換可以表示為

${\vec {z}}=M{\vec {z}}_{0}$ .

矩陣 $M$ 將是辛矩陣。這意味著

$M^{T}JM=J$

其中

$J=\left({\begin{matrix}0&1&0&0&0&0\\-1&0&0&0&0&0\\0&0&0&1&0&0\\0&0&-1&0&0&0\\0&0&0&0&0&1\\0&0&0&0&-1&0\end{matrix}}\right)$ .

現在，在量子力學中，我們通常處理厄米算符。這些可以透過正交矩陣進行對角化。對於辛矩陣，我們可以對角化矩陣，但這裡的變換矩陣將是辛矩陣。為此，我們找到 M 的特徵向量。讓我們將它們標記為 $v_{\pm 1,\pm 2,\pm 3}$ 正負特徵模之間透過以下關係聯絡

$v_{-k}=iv_{k}^{*}$

我們可以透過定義一個上標向量來定義歸一化

$v^{j}=-i{\rm {sgn}}(j)v_{j}^{*}$

然後我們發現歸一化條件

$v^{j}v_{k}=\delta _{jk}$

特徵向量矩陣

$U=(v_{1}\ v_{-1}v_{2}\ v_{-2}\ v_{3}\ v_{-3})$

是辛矩陣。不變數用特徵向量表示為

$G_{a}=-J(v_{a}v_{a}^{\dagger }+v_{a}^{*}v_{a}^{T})J$

用李代數表示的線性運動

我們也可以將單圈對映描述為作用於 x 和 p 的運算元。讓我們考慮旋轉矩陣 ${\begin{pmatrix}x\\p\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}cos\mu &\sin \mu \\-\sin \mu &\cos \mu \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{0}\\p_{0}\end{pmatrix}}$ 我們可以用李運算元表示它 $R=e^{{\frac {\mu }{2}}:x^{2}+p^{2}:}$ 這個運算元作用於函式 x 和 p 的方式如下 $Rx=\cos \mu x-\sin \mu p$ 和 $Rp=\sin \mu p+\cos \mu x$ R 的本徵函式由 $h_{\pm }=x\mp ip$ 給出，其中 $Rh_{\pm }=e^{\pm i\mu }h_{\pm }$ 。 $h_{\pm }$ 有時被稱為共振基。在非線性問題中，我們需要計算出線性運算元構建的各種運算元。根據共振基展開將使我們能夠進行這些計算。