加速器物理中非線性動力學指南/非線性運動

簡介

本章提供工具來描述粒子的非線性運動。我們專注於圓形機器的情況。這意味著我們希望瞭解粒子在多次轉動後的行為。

機器的區域性和全域性表示以及模型構建和分析的價值

機器由磁體和腔體組成，它們具有相應的電場和磁場。這些場中的動力學可以用哈密頓量 H(s) 來描述。跟蹤程式碼將透過哈密頓量來積分粒子。

在這一背景下，構建非線性動力學領域有兩種方法。一種方法是從各種簡單模型開始，例如常數哈密頓量、單圈對映的各種簡化表示或簡化的 s 相關哈密頓量。這些模型的特點被抽象出來，並用於構建描述這些現象的語言。當需要真實的模擬時，使用跟蹤程式碼，並根據簡化模型分析所產生的現象。可以改變引數以改善感興趣的量，例如相空間形狀、擴散到較大振幅的速度或分界線的位。結果在跟蹤程式碼中進行檢查，但分析基於簡化模型。

第二種方法涉及對真實模型進行更直接的分析。這裡分析了完整的 s 相關哈密頓量或單圈對映的表示。由於磁體的離散性質和環形晶格的複雜性，對單圈對映的分析可能更簡單。該單圈對映可以用截斷的冪級數表示，或者用 Dragt-Finn 因子化的李運算元形式表示，或者可能是其他李運算元形式。

第一種方法的優勢在於使用的模型更簡單，更容易與其他物理系統相關聯。這建立了直覺，並提供了與其他領域和物理系統（如擺、非諧振子、踢轉子或繞軌道執行的行星和恆星）的聯絡。這些都是非線性動力學已進行大量數學分析的系統。KAM 定理、Nekhoroshev 定理、Chirikov 準則以及許多其他分析都將簡化的系統作為起點，這些系統並沒有直接描述圓形加速器中的非線性動力學，但它們足夠接近，以至於我們可以期待找到許多相似之處，並使用這些定理和理論體系作為我們遇到的現象的指南。跟蹤程式碼。這種方法的主要缺點是它通常會導致定性結果而不是定量結果。

第二種方法是直接使用適用於整個系統的複雜性的技術。這種方法意味著職責分離。計算系統的對映是一項工作，而分析則是完全不同的工作。這種方法在兩端都缺乏發展。在對映計算方面，現有的程式碼難以使用且沒有很好的文件。在對映分析方面，演算法在全面性上很難理解，並且也存在一些缺乏清晰解釋的情況。儘管在這個方向上進一步發展是可取的，但它實際上需要做的不僅僅是開發局部和全域性演算法。它還需要建立物理直覺以及與其他領域和物理系統的聯絡。這更像是粒子物理的 S 矩陣方法。S 矩陣的分析和透過費曼圖或其他任何技術進行的計算是某種程度上獨立的研究。也可以將其與凝聚態物理學中的散射理論聯絡起來。系統是用輸入和輸出建模的。建立這種聯絡並強調這一點的原因是為了說明應該知道從全域性方法中想要計算什麼。在加速器物理學中，正規化演算法，據說是對映分析的典範和框架，缺乏清晰定義的量。在進入正規化細節之前，應該清楚地瞭解要計算什麼。這裡，需要更好地理解可積和不可積之間的區別。如果用一個可積系統來近似一個系統，那麼對於所有初始條件來說，都會存在調諧。正規化演算法的任務是計算這些調諧。

常數哈密頓模型及其分析

這裡我們考慮二維相空間，並考慮一個常數哈密頓量 H(x,p)。例如，我們考慮

H(x,p)={\frac {\mu }{2}}(x^{2}+p^{2})+\epsilon x^{4}

哈密頓方程由下式給出

{\dot {x}}={\frac {\partial H}{\partial p}}=\mu p

{\dot {p}}=-{\frac {\partial H}{\partial x}}=-\mu x-4\epsilon x^{3}

簡單對映模型及其分析

對映可以用多種形式表示。一種方法是使用李運算元。一個簡單的例子是相空間旋轉，然後是八極踢-

e^{{\frac {\mu }{2}}:x^{2}+p^{2}:}e^{\epsilon :x^{4}:}

TPSA 李代數標準型工具

這裡我們將描述如何將對映轉換為提取有用量的工具。我們首先將討論限制在非共振情況下。在這種情況下，標準型演算法的整個目標只是為了找到振幅隨調諧的變化。有時這需要在冪級數和李運算元或微分運算元形式之間來回轉換。一個初步的目標是比較以下文獻中描述的演算法：

E. Forest, M. Berz, J. Irwin, “用於複雜週期性系統的標準型方法”
"使用微分代數和李運算元的完整解決方案。" 粒子加速器，24-91, 1989

以及

M. Berz, "標準型理論的微分代數公式化", http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.46.6663

在第二篇文獻中，作者聲稱不需要李運算元。儘管這些文獻側重於使用對映的冪級數表示，但我們也可以將它們與簡單情況下的緊湊李表示進行比較。

具有李對映的標準型

我們希望轉換以下對映，以便我們能夠提取振幅隨調諧的變化

M=e^{{\frac {\mu }{2}}:x^{2}+p^{2}:}e^{\epsilon :x^{4}:}\equiv Re^{-\epsilon :x^{4}:}

我們透過應用以下變換進行轉換：

e^{:F:}Re^{\epsilon :x^{4}:}e^{-:F:}=RR^{-1}e^{:F:}Re^{\epsilon :x^{4}:}e^{-:F:}

=Re^{:R^{-1}F+\epsilon x^{4}-F:+O(\epsilon ^{2})}

現在我們選擇 F 來簡化

(R^{-1}-1)F+\epsilon x^{4}

為此，我們用 R 的特徵函式展開 $x^{4}$

Rh_{\pm }=e^{\pm i\mu }h_{\pm }

這裡，由於 R 僅僅是旋轉，我們有

h_{\pm }=x\mp ip

因此，

x={\frac {1}{2}}(h_{+}+h_{-}),\ \ \ p={\frac {i}{2}}(h_{+}-h_{-})

所以

x^{4}=(h_{+}+h_{-})^{4}=h_{+}^{4}+4h_{+}^{3}h_{+}+6h_{+}^{2}h_{-}^{2}+3h_{+}h_{-}^{3}+h_{-}^{4}

現在，中間項是包含幅度項的調諧位移。我們可以透過設定以下條件來移除其他所有項：

F={\frac {1}{16}}\left({\frac {h_{+}^{4}}{1-e^{4i\mu }}}+4{\frac {h_{+}^{3}h_{-}}{1-e^{2i\mu }}}+4{\frac {h_{+}h_{-}^{3}}{1-e^{-2i\mu }}}+{\frac {h_{-}^{4}}{1-e^{-4i\mu }}}\right)

多項式對映與向量場之間的聯絡

假設我們有一個接近恆等的多項式對映。

${\begin{pmatrix}x_{1}\\p_{1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x_{0}+f(x_{0},p_{0})\\p_{0}+g(x_{0},p_{0})\end{pmatrix}}$

那麼與該對映相關的向量場為

$f\partial _{x}+g\partial _{p}$

使用對映的標準形式

我們使用以下符號：

如果 $A$ 是一個數組， $A[i]$ 是陣列的第 $i$ 個元素。
一個數組可以用整數或整數陣列索引。
$x=(x_{1},...,x_{k},...)$ 是相空間中的一個點，
對映 $M:x\to M(x)$ 被表示為一組多項式陣列 $x_{i}\to T[i](x)$ ，對於每一個 $i$ 。
一個多項式 f 被表示為係數陣列，索引由指數陣列標識，即 $f=\sum _{j}f[j]\prod _{k}x_{k}^{j[k]}$
$j$ 是一個整數向量，用於識別單項式，而 f[j] 是一個實數或複數，通常是單項式的係數。 $j$ 的元素數量等於相空間的維數。
$j[k]$ 是一個整數。它給出單項式中 $x_{k}$ 變數的冪。
單項式的階為 $\sum _{k}j[k]$ 。
多項式的階由其單項式的最大階定義。
對映的階由其多項式的最大階定義。
一般來說，對映完全由所有 $T[i][j]$ 識別，因此陣列陣列 $T$ 可以與對映相關聯。

我們可以為對映定義幾種運算。

"作用於點" $()$ ，即 $x_{i}\to \sum _{j}T[i][j]\prod _{k}x_{k}^{j[k]}$ 。
"作用於對映"，透過組合各個多項式將兩個對映組合成另一個對映。我們使用相同的符號。

$M(A)=C$ 如果 $C(x)=M(A(x))\quad \forall x$ 。

"求和" ( $+$ ): 它透過對多項式陣列的元素逐個相加來得到。
"乘法" 由 $(MA)(x)=A(M(x))\quad \forall x$ 定義。
我們也可以寫成 M f，其中 f 是一個多項式，表示 $(Mf)(x)=f(M(x))\quad \forall x$ 。

現在我們可以描述標準型演算法。

令

$E$ 恆等對映，
$R$ 線性對映，
$S,T$ 階數為 $m$ 的對映，
$O$ 階數大於 $m$ 的對映，
$M=R+S$
$A=E+T$

則

$AMA^{-1}=(E+T)(R+S)(E-T+O)=(E+T)(R+S-RT+O)=R+S+TR-RT+O.$

因此，透過仔細選擇 $T$ ，我們可以消除 $S$ 中一些階數為 $m$ 的項。

現在我們嘗試求解方程 $G=RT-TR$ 中的 $T$ ，其中 $G$ 是一個包含 $R+S$ 中不需要的項的對映。

如果 $R$ 具有特徵向量 $\lambda _{k}$ 和特徵函式 $l_{k}=\sum _{n}L[k][n]x_{n}$ ，其中 $L$ 是對角化 $R$ 的線性對映，那麼

$Rl_{k}=l_{k}(R)=\lambda _{k}l_{k}$
$l_{k}R=R(l_{k})=\lambda _{k}l_{k}$ .

$T$ 和 $G$ 可以用變數 $l_{k}$ 上的多項式表示

$T[i]=\sum _{j}T_{R}[i][j]\prod _{k}l_{k}^{j[k]}$
$G[i]=\sum _{j}G_{R}[i][j]\prod _{k}l_{k}^{j[k]}$

總結一下，用這種表示法

$T_{R}[i][j]$ 是一個複數，它是對映 $T_{R}$ 的第 $i$ 個函式中單項式 $j$ 的係數。
$T_{R}$ 表示在基底 $l_{k}$ 上的對映。
$l_{k}$ 要麼是形式變數，要麼是 $x_{n}$ 的線性函式。 $l_{k}$ 的集合表示一個將 $R$ 對角化的對映。

使用

$R\prod _{k}l_{k}^{j[k]}=\prod _{k}\lambda _{k}^{j[k]}l_{k}^{j[k]}$
$(T_{R}R)[i]=(R(T_{R}))[i]=\sum _{j}\lambda _{i}T_{R}[i][j]\prod _{k}l_{k}^{j[k]}$
$(RT_{R})[i][j]=((T_{R}(R)))[i][j]=T_{R}[i][j]\lambda _{k}^{j[k]}l_{k}^{j[k]}$
$G_{R}[i][j]=\left(\prod _{k}\lambda _{k}^{j[k]}-\lambda _{i}\right)T_{R}[i][j]$