加速器物理/跟蹤中的非線性動力學指南

本章提供了用於描述用於查詢跟蹤粒子在電磁場中運動的對映的工具。

介紹

在加速器物理學中，有幾種跟蹤粒子的方法。每個方法都有不同的目標，需要其自己的近似方法。以下是一種可能的分類。

涉及的物理學

在演化過程中，粒子經歷以下物理過程

衰變或非彈性散射

自發或由與其他粒子的非常小規模的相互作用觸發。使用基於量子場論的機率模型傳播粒子。

彈性散射

高能粒子與其他粒子之間的小規模相互作用，不涉及衰變。與非彈性散射一樣，粒子使用基於量子場論的機率模型進行傳播。彈性散射的一個特例是同步輻射，它可能使用也可能不使用機率模型或近似統計定律。所使用的近似值通常是忽略不太可能的項，簡化運動。

電磁場

由於粒子與電磁場的相互作用而引起的傳播，電磁場可以是外部的，也可以是由兩個或多個粒子產生的。

模擬目標

事件生成

用於描述在碰撞後可能產生哪種粒子

在高能粒子與另一個高能粒子之間的

粒子對撞機或固定靶實驗中的低能粒子之間。

所使用的近似值是忽略時空的擴充套件。

程式碼是dmjet, pythia.

粒子物質相互作用

用於計算探測器的效率，

沉積的能量，某些裝置的輻射損傷。

程式碼是geant, mars, fluka.

短期分析（一圈）

用於計算或近似束包絡，

運動的不變數和週期結構的擾動項。研究物件

是運動方程的顯式形式，而不是粒子的軌跡，

即使軌跡可能用於計算或近似運動方程。物質相互作用和集體效應通常不包括在內。

程式碼是mad, ptc, tracy.

束損失的短期模擬

用於計算束中粒子分佈尾部的粒子軌跡。這些粒子通常是實驗中損失或背景噪聲的來源。在這些模擬中通常需要數百圈。運動是準確的，但與物質的相互作用非常簡化。

程式碼是sixtrack.

集體不穩定性的短期模擬

用於計算由於粒子與自身（直接空間電荷）或與附近的金屬表面（阻抗，間接空間電荷）的相互作用而引起的一束粒子的短期穩定性。運動是準確的，但方程的辛性不準確。由於問題的維數高，這是一個不可避免的近似值。

程式碼是orbit, elegant,headtail, warp.

長期模擬

用於評估圓形環中由於小的非線性擾動而引起的運動的長期穩定性。通常需要數千（電子）或數百萬（強子）圈才能找到結果。長期模擬要麼作為機器缺陷影響的直接評估工具，要麼作為擾動方法的基準（一圈對映分析、頻率對映、調諧足跡、調諧或作用擴散）。所使用的近似值與短期分析共享。

程式碼是sixtrack,teapot.

以下我們將重點關注短期分析和長期模擬的跟蹤，這些模擬共享保持方程的數學結構精確的必要性。

離散跟蹤

本節的目的是研究如何在不影響運動方程結構的情況下，求解單個粒子在一般電磁場中的運動。

如果電磁場可以很容易地用佔據明確定義的非重疊區域的不連續向量場來近似，則可以採用離散步驟的組合來解決跟蹤問題。每個步驟是運動方程在區域邊界之間的精確解。區域型別可能是

• 由一個表面定義的零體積區域
• 由兩個平行平面表面包圍的區域
• 由兩個不平行的平面表面包圍的區域
• 由一般表面包圍的區域。

該程式是找出哪種型別的場和區域允許精確地求解運動，以及如何找到那些近似真實場的場和區域。

運動方程

真空中的粒子具有四個自由度和靜止質量，因此可以用以下量來識別

${\vec {x}}=(x,y,z,t)\qquad {\vec {p}}=(p_{x},p_{y},p_{z},p_{t})\quad m$

分別是位置和機械動量。靜止質量守恆意味著

$m^{2}c^{2}=p_{t}^{2}-p_{x}^{2}-p_{y}^{2}-p_{z}^{2}$.

最小作用原理以及空間的各向同性和時間的均勻性意味著

$\partial _{t}{\vec {x}}=\partial _{\vec {p}}H$

$\partial _{t}{\vec {p}}=-\partial _{\vec {x}}H$

對於任何 $t$，其中 $H=p_{t}$.

除了 $t,x,y,z$，$p_{t},p_{x},p_{y},p_{z}$ 也可以使用。運動的解是直線。

對於電磁場 ${\vec {A}}({\vec {x}})=(-\phi ({\vec {x}}),A_{x}({\vec {x}}),A_{y}({\vec {x}}),A_{z}({\vec {x}}))$，如果希望保持運動方程相同的結構，需要將 ${\vec {p}}$ 替換為 ${\vec {P}}={\vec {p}}-q{\vec {A}}$，其中 $q$ 是粒子的電荷。

在一般情況下，運動方程在有界區域內無法精確求解。可解的情況是

漂移型別

哈密頓量僅依賴於 ${\vec {p}}$。對映是

${\vec {x}}\to {\vec {x}}+\partial _{\vec {p}}H\qquad {\vec {p}}\to {\vec {p}}$.

一個特殊情況是在平行平面邊界區域沒有場。對映為

${\vec {x}}\to {\vec {x}}+{\frac {t_{f}}{m}}{\vec {p}}\qquad {\vec {p}}\to {\vec {p}}$

$t_{f}$ 是飛行時間，它不依賴於 ${\vec {x}}$，因為平行邊界。假設粒子位於一個面上，如果相對面距離為 $d$，那麼 $t_{f}={\frac {md}{p_{z}}}$

踢擊型別

零體積表面，無限場。運動是動量的變化，而不是座標的變化

${\vec {x}}\to {\vec {x}}\qquad {\vec {p}}_{x}\to {\vec {p}}_{x}+{\vec {f}}({\vec {x}})$

自由場區域（待驗證的猜想）

如果區域沒有場並且定義為

$f({\vec {x}})=0$

以及如果 $f({\vec {x}}+t_{f}{\frac {\vec {p}}{m}})=0$

可以解出 $t_{f}$。對映為

${\vec {x}}\to {\vec {x}}+{\frac {t_{f}}{m}}{\vec {p}}\qquad {\vec {p}}\to {\vec {p}}$

精確地說，由構造得到的對映（可能包含無窮項）應該是辛的。

均勻型別（待驗證的猜想）

平行邊界上的均勻電磁場。例如理想偶極磁體或螺線管磁體。

由於運動可以精確確定，因此由構造得到的對映（可能包含無窮項）應該是辛的。

派生型別

如果存在一個規範變換 $T$，它將場和區域帶到上述形式，則對映 $TST^{-1}$

其中 $S$ 是上述型別之一的對映，準確地解決了運動。例如，扇形彎曲磁體，其中規範變換將座標系轉換為圓柱座標（並可能取消彎曲場），然後再返回。

辛積分器

如果哈密頓量是可解部分的總和 $H=H_{1}+H_{2}+\ldots$，可以構建近似模型，形式為一系列區域，使得 $\prod \exp(c_{i}:H_{j}:)=\exp(:H:+O(n))$。一個特例是“踢漂移近似”或廣義吉田辛積分器。

輻射的包含

當追蹤單個帶電粒子穿過磁場時，如果它加速，它將發射輻射。這在追蹤電子時尤其重要。實際上，輻射的影響通常被分成兩個不同的部分：一個確定性的能量損失，以及由出射電磁場（光子）量子化導致的隨機部分。

首先，我們描述確定性部分。我們使用高能近似，其中能量和動量透過 E=P/c 相關。帶電粒子在磁場中輻射的功率由 $P_{\gamma }={\frac {e^{2}c^{3}}{2\pi }}C_{\gamma }E^{2}B^{2}\$給出，其中 $C_{\gamma }={\frac {4\pi }{3}}{\frac {r_{e}}{(mc^{2})^{3}}}=8.85\times 10^{-5}{\frac {m}{GeV^{3}}}$。現在，假設在辛積分器中，我們穿過一段長度為 L 的磁場區域。事實上，這段區域的長度將取決於粒子的初始座標。該區域的長度由 $L^{*}=L(1+{\frac {x}{\rho }}+{\frac {1}{2}}(x'^{2}+y'^{2}))$給出。現在，在許多程式碼中，磁場由 $B\rho$歸一化，以便積分常數項無量綱。定義 ${\bar {B}}={\frac {B}{B\rho }}$。利用關係 $B\rho ={\frac {E}{ec}}$，可以發現能量偏差的變化由 $\delta =\delta _{0}-C_{r}(1+\delta _{0})^{2}{\bar {B}}_{\perp }^{2}L^{*}$給出，其中 $C_{r}=C_{\gamma }{\frac {E^{3}}{2\pi }}$。這是例如 Accelerator Toolbox 和 Tracy 中使用的公式。現在已經計算了能量（動量）的變化，相應的橫向動量 x'、y' 的變化也可以計算出來。這是透過注意到 $p_{x,y}$在輻射過程中沒有改變。