描述性統計手冊/統計變異性度量/幾何標準差

在機率論和統計學中，幾何標準差描述了一組數字的離散程度，這些數字的最佳平均數是幾何平均數。如果一組數字 {A₁, A₂, ..., A_n} 的幾何平均數用 μ_g 表示，則幾何標準差為

$\sigma _{g}=\exp \left({\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(\ln A_{i}-\ln \mu _{g})^{2} \over n}}\right).\qquad \qquad (1)$

推導

如果幾何平均數是

$\mu _{g}={\sqrt[{n}]{A_{1}A_{2}\cdots A_{n}}}.\,$

然後對兩邊取自然對數，得到

$\ln \mu _{g}={1 \over n}\ln(A_{1}A_{2}\cdots A_{n}).$

一個乘積的對數是各對數的和（假設 $A_{i}$ 對所有 $i$ 為正），因此

$\ln \mu _{g}={1 \over n}[\ln A_{1}+\ln A_{2}+\cdots +\ln A_{n}].\,$

現在可以看出，$\ln \,\mu _{g}$ 是集合 $\{\ln A_{1},\ln A_{2},\dots ,\ln A_{n}\}$ 的算術平均數，因此，該集合的算術標準差應為

$\ln \sigma _{g}={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(\ln A_{i}-\ln \mu _{g})^{2} \over n}}.$

因此

ln(A₁, ..., A_n 的幾何 SD) = ln(A₁), ..., ln(A_n) 的算術（即通常的）SD。