Haskell/解決方案/範疇論

哪個定律蘊含傳遞性？

形式上，偏序關係的傳遞性定義為：對於任何 $a$，$b$，和 $c$，如果 $a<b$ 且 $b<c$，則 $a<c$。在由偏序關係定義的範疇中，這轉化為：對於任何物件 $a$，$b$，和 $c$，如果存在態射 $a\to b$ 和 $b\to c$，則存在態射 $a\to c$。這是由範疇的第二定律保證的，即它們在複合下是封閉的。事實上，最後一個態射是前兩個的複合。

為什麼新增箭頭會破壞範疇定律？

讓我們考慮一下組合 $h\circ g$ 和 $g\circ f$ 的結果應該是什麼。請注意，由於 $h:B\to A$ 和 $g:A\to B$，那麼 $h\circ g:A\to A$，並且由於從 $A$ 到 $A$ 只有一個態射，即 $\operatorname {id} _{A}$，因此得出 $h\circ g=\operatorname {id} _{A}$。使用類似的推理，我們可以證明 $g\circ f=\operatorname {id} _{B}$。

現在，讓我們考慮組合 $(h\circ g)\circ f$；將 $h\circ g=\operatorname {id} _{A}$ 代入得到 $\operatorname {id} _{A}\circ f$，根據範疇論的第三定律可以簡化為 $f$。然而，範疇論的第一定律規定，此組合應等於 $h\circ (g\circ f)=h\circ \operatorname {id} _{B}=h$，但是 $f\neq h$。