傳熱/傳導

傳導

傳導方程

利用傅立葉定律在三維空間內進行熱量平衡，可以推匯出以下方程，該方程將系統中某一點的溫度與其笛卡爾座標和經過的時間聯絡起來。

${k}\left({{\frac {{\partial ^{2}}T}{\partial {x^{2}}}}+{\frac {{\partial ^{2}}T}{\partial {y^{2}}}}+{\frac {{\partial ^{2}}T}{\partial {z^{2}}}}}\right)=\rho \cdot C_{p}\cdot {\frac {\partial {T}}{\partial t}}$

推導假設沒有熱量產生（這是 x、y、z 和 t 的函式，如果存在則必須新增）並且材料屬性不隨時間或溫度變化（在這種情況下，它們必須合併到導數中）。

穩態傳導

當傅立葉定律的任何一項都不依賴於時間時，我們就有了穩態傳導；因此，得到

${k}\left({{\frac {{\partial ^{2}}T}{\partial {x^{2}}}}+{\frac {{\partial ^{2}}T}{\partial {y^{2}}}}+{\frac {{\partial ^{2}}T}{\partial {z^{2}}}}}\right)=0$

平面壁

透過牆壁的熱傳遞是一個一維傳導問題，其中溫度是距離牆壁表面之一的距離的函式。假設牆壁的其餘表面處於恆定溫度。牆壁表面的熱傳遞透過周圍空氣的對流進行，這會導致它們具有$T_{1}$和$T_{2}$的穩態溫度。假設溫度為$T_{1}$的牆壁一側的流體處於$T_{1,\infty }$，傳熱係數為$h_{1}$，溫度為$T_{2}$的牆壁另一側的流體處於$T_{2,\infty }$，傳熱係數為$h_{2}$，並且$T_{1,\infty }\geq T_{2,\infty }$。該假設意味著$h_{1}\geq h_{2}$。由於牆壁不儲存任何熱能，因此來自較熱表面的所有熱量都會傳導到較冷的表面。能量守恆決定了

${{\nabla }^{2}}T=0$

對於一個既不產生熱量也不儲存任何熱量的物體，因為在這種情況下，溫度只隨位置變化，不隨時間變化。將同樣的方法應用於 x 軸方向垂直於牆壁表面的 1 維情況，我們得到

${-k}{\frac {{d^{2}}T}{d{x^{2}}}}=0$

求解並代入適當的邊界條件（在 x=0 處，$T=T_{1}$；在 x=s 處，$T=T_{2}$），我們得到 T 在牆壁厚度$s$內的線性變化。

$T(x)=(T_{2}-T_{1}){\frac {x}{s}}+T_{1}$

從方程式中可以明顯看出，牆壁內部的溫度分佈隨距離表面的距離線性變化。由於我們有溫度變化，因此可以根據傅立葉定律計算傳導率。

${q_{s}}''=-k{\frac {dT}{dx}}={\frac {k}{s}}(T_{1}-T_{2})$

從上述方程可以看出，熱通量與 x 無關，是常數。這個例子展示了求解傳導問題的標準方法。首先，使用能量守恆方程找到物體內的溫度分佈，然後將溫度方程代入傅立葉定律方程求解熱通量。

一般來說，我們希望擁有能夠承受高溫且導熱率很低的材料來建造熔爐。在實踐中，我們發現高溫材料的熱導率也相對較高。因此，熔爐由多層不同材料構成。我們可以利用每種材料的熱分解溫度找到最佳厚度，使熱損失最小。不難看出，每種材料應該在自身熱分解溫度下吸收熱量，並在相鄰材料的熱分解溫度下釋放熱量。

空心圓柱體

讓我們採用與平板相同的假設，只是這次分析一下當我們透過一個無限長的空心圓柱體傳遞熱量時會發生什麼。圓柱體的內半徑為 R₁，外半徑為 R₂。在內溫保持在 T₁，外溫保持在 T₂ 的假設下，拉普拉斯方程仍然成立。

${{\nabla }^{2}}T=0$

然而，這次我們是在圓柱幾何中，所以用圓柱座標展開拉普拉斯運算元是最合理的：

${{\nabla }^{2}}T={1 \over r}{\partial \over \partial r}\left(r{\partial T \over \partial r}\right)+{1 \over r^{2}}{\partial ^{2}T \over \partial \theta ^{2}}+{\partial ^{2}T \over \partial z^{2}}.$

由於圓柱體是無限長的且對稱的，關於 z 和 θ 的偏導數為零，因此該方程簡化為：

${1 \over r}{\partial \over \partial r}\left(r{\partial T \over \partial r}\right)=-q/k$

當存在熱量產生時，上述方程成立。當沒有熱量產生時，q 變為零。用邊界條件 T(R₁) = T₁ 和 T(R₂)=T₂ 求解該方程，我們得到：

$T(r)={\frac {T_{2}-T_{1}}{\ln {\frac {R_{2}}{R_{1}}}}}(\ln(r)-\ln(R_{1}))+T_{1}$

將此代入傅立葉傳導定律，我們得到：

$Q''={\frac {-k(T_{2}-T_{1})}{r\ln {\frac {R_{2}}{R_{1}}}}}={\frac {k(T_{1}-T_{2})}{r\ln {\frac {R_{2}}{R_{1}}}}}={\frac {2k(T_{1}-T_{2})}{\phi \ln {\frac {\phi _{2}}{\phi _{1}}}}}$

注意，與平板不同，圓柱體的熱通量不與半徑無關，這在設計圓柱形換熱器等方面具有重要意義。

現在讓我們以每單位長度的熱通量來表達它，這樣我們就可以將其用作對不是無限長圓柱體的近似值。圓柱體的橫截面積是 $A=2{\pi }rL$，所以

$Q'={\frac {Q}{L}}={\frac {2{\pi }k(T_{1}-T_{2})}{\ln {\frac {R_{2}}{R_{1}}}}}={\frac {2{\pi }k(T_{1}-T_{2})}{\ln {\frac {\phi _{2}}{\phi _{1}}}}}$

因此，每單位長度傳遞的熱量與半徑的對數密切相關。

多層傳導和電熱模擬

通常，傳導並非僅發生在一個平面壁或一個圓柱體中，而是發生在多個平面層或同心圓柱體中。例如，現代房屋的牆壁由幾層構成以提高其隔熱效能：因此，我們可以從內向外找到以下分層

(1) 內部油漆

(2) 石膏

(3) 磚塊，例如多孔磚

(4) 熱絕緣體，如聚苯乙烯

(5) 空腔（空氣是良好的絕緣體）

(6) 再次是磚塊、石膏和油漆

所以，我們有 8 層，方程的解

${-k}{\frac {{d^{2}}T}{d{x^{2}}}}=0$

變得更加複雜，因為有更多邊界條件需要滿足。解決該問題的簡化方法是**電熱模擬**：如果我們觀察$Q$對於平面壁和空心圓柱體的表示式，我們會注意到它們可以寫成

$Q=G\Delta T={\frac {\Delta T}{R}}$

其中 $G$（或 $R$，取決於個人喜好），取決於幾何形狀，幷包含導熱係數 $k$。此公式類似於歐姆定律

$I={\frac {\Delta V}{R}}$

因此，傳導的熱問題可以用熱阻（或熱導，取決於個人喜好 $G=1/R$）來模擬：每個熱阻都是一個在其節點上保持不同溫度的物體，因此熱量透過它傳遞；同樣，如果我們在電阻上施加電壓差，電流就會透過它。這種模擬很有用，因為它允許我們將多層問題模擬為串聯連線的電阻圖。實際上，如果電阻 A 與 B 串聯連線，則 A 的末端節點與 B 的起始節點電壓相同；如果熱阻 A（牆壁的一層）與熱阻 B（另一層）串聯連線（相鄰），則在公共節點（介面）上不會有熱梯度。對於第 i 個平面壁

$R_{i}={\frac {s_{i}}{k_{i}A_{i}}}$

其中 $A$ 是牆壁的面積。所以我們有

$Q={\frac {T_{ext}-T_{int}}{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}R_{i}}}$

對於同心空心圓柱體（例如絕緣管道），我們可以使用相同的公式，但電阻由以下公式給出

$R={\frac {\ln {\frac {\phi _{2}}{\phi _{1}}}}{2\pi kL}}$

有限差分法

有限差分法試圖透過用代數表示式估計微分項來求解微分方程。該方法最適合簡單幾何形狀，這些形狀可以分解成矩形（在笛卡爾座標系中）、圓柱體（在圓柱座標系中）或球體（在球座標系中）。否則，應使用有限元方法。如果可以使用有限差分法，它比有限元方法更容易實現，但會損失一些精度。

對一階微分的簡單估計為：

${\frac {\partial x}{\partial y}}={\frac {\Delta x}{\Delta y}}$

可以證明，使用此近似值引起的誤差與${\Delta y}^{2}$大致成正比。

為了估計二階導數，將其視為一階導數的導數，並依次將上面的近似值應用兩次

${\frac {\partial ^{2}x}{{\partial y}^{2}}}={\frac {{({\frac {\partial x}{\partial y}}})_{2}-({\frac {\partial x}{\partial y}})_{1}}{\Delta y}}={\frac {({\frac {\Delta x}{\Delta y}})_{2}-({\frac {\Delta x}{\Delta y}})_{1}}{\Delta y}}={\frac {x_{3}-2x_{2}+x_{1}}{{\Delta y}^{2}}}$

很明顯，估計二階導數需要三個點，而估計一階導數只需要兩個點。這種特殊方法也可以證明是二階的，其中${\Delta y}$.

瞬態傳熱

在瞬態傳熱問題中，必須求解完整的傅立葉方程

${k}\nabla ^{2}T=\rho \cdot C_{p}\cdot {\frac {\partial {T}}{\partial t}}$

該方程的解比穩態方程更難，但在簡單情況下是可能的。否則，應使用數值方法。

平板

太陽加熱地球是輻射熱傳遞的例子。太陽溫暖地球而不溫暖太陽和地球之間的空間。

有限差分法

有限差分法用於查詢奇形物體