高中微積分/旋轉曲面面積

旋轉曲面面積

本節從構造麴面開始。一條曲線$y=f(x)$繞一個軸旋轉。這將產生一個“旋轉曲面”，它圍繞著我們得到的軸是對稱的，比如圓柱體（一個管子）。透過旋轉曲線，我們可能會得到一個燈或燈罩（甚至燈泡）。

關鍵思想是解析短的直線段。它們的斜率為${\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}$。它們可以是長度相同的段$\operatorname {d} s$或$\Delta s$，這些段用於求長度。現在我們計算面積。當旋轉時，一條直線段會產生一個細帶。旋轉$y=f(x)$得到的曲面，接近於這些帶。第一步是計算一個帶的表面積。

一個小說明：曲面也可以被切割成微小的塊。每個塊幾乎是平的，就像一個小正方形。這些塊的總和將導致一個二重積分（用$\operatorname {d} x\operatorname {d} y$）。這裡積分保持一維($\operatorname {d} x$或$\operatorname {d} y$或$\operatorname {d} t$）。旋轉曲面是特殊的 - 我們用環來近似它們，這些環繞了一圈。一個環只是一條有斜率的帶，它的斜率會影響它的面積。

旋轉一小段直線（長度為$\Delta s$，而不是$\Delta x$）。這段的中心繞著半徑為 r 的圓旋轉。這個帶是圓錐的一片。當我們把它展開時，我們發現它的面積。面積是邊長$\Delta s$乘以中間周長$2\pi r$

一個帶的表面積為$2\pi r\Delta s=2\pi r{\sqrt {1+\left({\frac {\Delta y}{\Delta x}}\right)^{2}}}\Delta x$

對於繞 y 軸旋轉，半徑為 r = x。對於繞 x 軸旋轉，半徑為高度：$r=y=f(x)$。帶的面積和$2\pi r\Delta s$接近於曲面 S 的面積。在極限情況下，我們對$2\pi r\operatorname {d} s$積分

將曲線 $y=f(x)$ 在 $x=a$ 和 $x=b$ 之間旋轉而產生的曲面面積為

$S=\int _{a}^{b}2\pi y{\sqrt {1+\left({\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}\right)^{2}}}\operatorname {d} x$ 繞 x 軸旋轉（r = y）(1)

$S=\int _{a}^{b}2\pi x{\sqrt {1+\left({\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}\right)^{2}}}\operatorname {d} x$ 繞 y 軸旋轉（r = x）。(2)

示例 1

將一個完整的半圓 $y={\sqrt {R^{2}-x^{2}}}$ 繞 x 軸旋轉。

旋轉曲面是一個球體。它的面積是 $4\pi R^{2}$。x 的取值範圍為 -R 到 R。 $y={\sqrt {R^{2}-x^{2}}}$ 的斜率為 ${\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}={\frac {-x}{\sqrt {R^{2}-x^{2}}}}$.
面積 $S=\int _{-R}^{R}2\pi {\sqrt {R^{2}-x^{2}}}{\sqrt {1+{\frac {x^{2}}{R^{2}-x^{2}}}}}\operatorname {d} x=\int _{-R}^{R}2\pi R\operatorname {d} x=4\pi R^{2}$.

示例 2

將直線 $y=2x$ 的一部分繞 x 軸旋轉。

旋轉曲面是一個圓錐，其斜率平方為 $\left({\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}\right)^{2}=4$。從 x = 0 到 x = 1 的這一段的面積為 $2\pi {\sqrt {5}}$

$S=\int 2\pi y\operatorname {d} s=\int _{0}^{1}2\pi (2x){\sqrt {1+4}}\operatorname {d} x=2\pi {\sqrt {5}}$.

答案必須與公式$2\pi r\Delta s$（它來自）一致。從 (0,0) 到 (1, 2) 的直線長度為 $\Delta s={\sqrt {5}}$。它的中點是 $\left({\frac {1}{2}},1\right)$。繞 x 軸，中間半徑為 r = 1，面積為 $2\pi {\sqrt {5}}$。

示例 3

將相同的直線段繞 y 軸旋轉。現在半徑為 x 而不是 y = 2x。示例 2 中的面積減半。

$S=\int 2\pi x\operatorname {d} s=\int _{0}^{1}2\pi x{\sqrt {1+4}}\operatorname {d} x={\sqrt {5}}$.

對於具有弧長的表面，只有少數幾個例子有方便的答案。西瓜、籃球和燈泡在練習中。為了不使本節內容過長，將顯示最終的面積公式。

當存在引數 t 時，該公式適用。而不是$(x,f(x))$，曲線上的點為 $\left(x(t),y(t)\right)$。隨著 t 的變化，我們沿著曲線移動。長度公式$(\operatorname {d} s)^{2}=(\operatorname {d} x)^{2}+(\operatorname {d} y)^{2}$ 用 t 表示。

對於繞 x 軸旋轉的旋轉曲面，面積變為 t 積分。

表面積為$\int 2\pi y\operatorname {d} s=\int 2\pi y(t){\sqrt {\left({\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {d} t}}\right)^{2}+\left({\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} t}}\right)^{2}}}\operatorname {d} t$。（3）

示例 4

點 $x=\cos t,y=5+\sin t$ 在以 (0, 5) 為中心的圓上移動。將該圓繞 x 軸旋轉會產生一個甜甜圈。求此甜甜圈的表面積。
解決方案

$\left({\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {d} t}}\right)^{2}+\left({\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} t}}\right)^{2}=\sin ^{2}t+\cos ^{2}t=1$。圓在 $t=2\pi$ 處完成。

$\int 2\pi y\operatorname {d} s=\int _{0}^{2\pi }2\pi (5+\sin t)\operatorname {d} t=\left[2\pi (5t-\cos t)\right]_{0}^{2\pi }=20\pi ^{2}$

練習

閱讀問題

旋轉曲面是透過繞b旋轉a得到的。本節計算c。當曲線是一段短直線（長度為$\Delta s$）時，旋轉曲面是一個d。其面積為$\Delta S=\bullet$。在該公式中，r是t的半徑。連線（0, 0）和（1, 1）的線段長度為g，繞其旋轉得到的面積為h。

當曲線$y=f(x)$繞x軸旋轉時，旋轉曲面的面積是積分i。對於$y=x^{2}$，計算j的積分。當$y=x^{2}$繞y軸旋轉時，面積為S = k。對於由$x=2t$，$y=t^{2}$給出的曲線，改變$\operatorname {d} s$是l $\operatorname {d} t$

找到曲線1-6繞x軸旋轉時的旋轉曲面面積。

1) $y=sqrt{x}<math>,<math>2\leq x\leq 6$

2) $y=x^{3}$, $0\leq x\leq 1$

3) $y=7x$, $-1\leq x\leq 1$

4) $y={\sqrt {4-x^{2}}}$, $0\leq x\leq 2$

5) $y={\sqrt {4-x^{2}}}$, $-1\leq x\leq 1$

6) $y=\cosh x$, $0\leq x\leq 1$

在 7-10 中，求繞 y 軸旋轉的曲面面積。

7) $y=x^{2}$, $0\leq x\leq 2$

8) $y={\frac {1}{2}}x^{2}+{\frac {1}{2}}$, $0\leq x\leq 1$

9) $y=x+1$, $0\leq x\leq 3<math></p><p>10)<math>y=x^{\frac {1}{3}}$, $\leq x\leq 1$

11) 籃球切片如果厚度相同，則它們覆蓋的面積相同。
(a) 繞 x 軸旋轉 $y={\sqrt {1-x^{2}}}$。證明 $\operatorname {d} S=2\pi \operatorname {d} x$.

(b) x = a 和 x = a + h 之間的面積為 __________。