高中微積分/極限求值

極限求值

什麼是極限？極限是函式在圖上不接觸或不越過的點。

求極限時，我們可能需要進行因式分解以得到L。L是函式不接觸或不越過的點。

$\lim _{x\to c}f(x)=L$

讓我們從一個比較簡單的極限開始。

$\lim _{x\to 3}x^{2}+x+3$

$3^{2}+3+3=15$

$L=15$

如您所見，我們所做的只是將3代入函式以得到L

但這並不總是奏效。在分數中很容易就能看出來。

我將向您展示兩種不同的求極限的方法。第一種是透過因式分解，第二種是使用洛必達法則。

透過因式分解求極限

這是一個相當簡單的概念，但並不容易實現。如果您不擅長識別多項式如何重寫，這將特別困難。

例1

$\lim _{x\to -2}{\frac {(x+2)^{2}}{x+2}}$

這給了我們 $L={\frac {0}{0}}$

這是一種不定式。這意味著我們必須找到另一種求極限的方法才能得到正確的L

讓我們看看$(x+2)^{2}$如何因式分解

透過因式分解，我們現在得到 $\lim _{x\to -2}{\frac {(x+2)(x+2)}{x+2}}$

$\lim _{x\to -2}{\frac {1*(x+2)}{1}}$

$-2+2=0$

$L=0$

例2

$\lim _{x\to 2}{\frac {x^{2}+2x-8}{x-2}}$

${\frac {2^{2}+2*2-8}{2-2}}$

$={\frac {0}{0}}$

再次，這是一個不確定的形式。讓我們看看是否可以透過因式分解來得到答案。

將多項式$x^{2}+2x-8$進行因式分解，我們發現它等於$(x-2)(x+4)$

讓我們在極限方程中使用因式分解。

$\lim _{x\to 2}{\frac {(x-2)(x+4)}{x-2}}$

正如你所看到的，(x-2) 將相互抵消，留下

$\lim _{x\to 2}x+4$

$2+4=6$

$L=6$

這種型別的極限評估需要一些時間，但隨著練習可以很快完成。

洛必達法則

這個規則是我最喜歡的解決不確定的形式的極限的方法。

這種方法稍微高階一些，所以我將簡要介紹它，但我將展示一些例子和背後的思想。這可能是你將在微積分 II 中學習的內容。

當你有一個極限，你已經確認它處於不確定的形式，你可以使用洛必達法則。

這就是規則

當$\lim _{x\to c}f(x)={\frac {0}{0}}$, ${\frac {\infty }{\infty }}$, ${\frac {\infty }{0}}$, ${\frac {-\infty }{\infty }}$, ${\frac {\infty }{-\infty }}$, 或者 ${\frac {-\infty }{-\infty }}$，使用洛必達法則。即$\lim _{x\to c}{\frac {f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}}$

示例 1

$\lim _{x\to 5}{\frac {x^{2}-3x-10}{x-5}}$

${\frac {5^{2}-3*5-10}{5-5}}={\frac {0}{0}}$

現在我們已經確定它是一個不確定的形式，我們使用洛必達法則

$\lim _{x\to 5}{\frac {2x-3}{1}}$

$2*5-3=7$

$L=7$

這是一個極其簡化的形式，說明了如何使用該法則。它是一種解決給出不確定形式的極限問題的非常好的方法。