高中微積分/極值與均值定理

極值與均值定理

函式的極值，或極端值，是函式的最小值和/或最大值。它們也被稱為絕對最大值或絕對最小值。

極值定理

如果一個函式$f$ 在閉區間$[a,b]$ 上連續，那麼在該區間上存在最大值和最小值。

為了找到函式的相對極值，首先需要計算函式的臨界值。

首先找到函式的導數。然後將導數設為0，並求解x的值。

現在，如果函式在閉區間$[a,b]$ 上，那麼在原始函式中評估所有臨界點和端點。

對於閉區間上的絕對最小值/最大值，評估點中最大的點是最大值；最小的點是最小值。

例子

$f(x)=x^{3}$ 在區間$[-2,2]$ 上的絕對最大值/最小值是什麼？

首先，對函式進行微分，

$f'(x)=3x^{2}.$

然後將導數設為0並求解臨界點。

$f'(x)=3x^{2}=0$

$x=0.$

現在計算原始函式在臨界點和端點上的值，

$f(-2)=-8,f(2)=8,f(0)=0$

由於$f(-2)=-8$ 是最小的，我們知道點$x=-2$ 是絕對最小值，而8是最大的，因此點$x=2$ 是絕對最大值。

羅爾定理

設$f$ 是在閉區間$[a,b]$ 上連續，在開區間$(a,b).$ 上可微。

如果 $f(a)=f(b)$，那麼在區間 $(a,b)$ 中至少存在一個數 $c$ 使得 $f'(c)=0.$

本質上，羅爾定理告訴我們，如果一個函式在閉區間上起點和終點相同，那麼存在一個點 $c$，導數 $f'(c)=0.$

你可以非正式地認為，在某個點上，函式必須從遞增變為遞減，或反之，才能回到它開始時的 y 座標。

平均值定理

如果 $f$ 在閉區間 $[a,b]$ 上連續，在開區間 $(a,b),$ 上可微，那麼在 $(a,b)$ 中存在某個數 $c$ 使得，

$f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}$

* 請注意，平均值定理的證明使用了羅爾定理。

平均值定理具有幾個不同的意義。在幾何學中，它告訴我們，如果在起點 a 和 b 之間畫一條割線，那麼在函式的某個地方存在一條平行於割線的切線。

平均值定理還表明，在開區間 $(a,b),$ 的某個地方，瞬時變化率（一點處的變化）等於整個區間的平均變化率。

當您使用平均值定理進行評估時，它將得出區間內的平均變化率。

例子

確定平均值定理是否適用，如果適用，找到開區間 $(a,b)$ 中的所有 c 值，使得，$f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}.$

令 $f(x)=x^{2},[-2,1].$

首先，檢查函式在閉區間上是否連續。由於我們處理的是$x^{2}$，我們已經知道它對所有 x 都是連續的。

接下來，檢查函式在開區間$(-2,1).$上是否可微。我們知道導數是$f'(x)=2x,$它在開區間上處處存在。

現在我們知道定理的兩個條件都滿足了，我們可以將其應用於問題。

首先在端點處評估函式。 $f(-2)=4,f(1)=1.$

接下來，將所有資訊代入定理，$f'(c)={\frac {1-4}{1-(-2)}}$

$={\frac {-3}{3}}$

$=-1.$

這告訴我們區間上的平均變化率是$-1.$

為了找到所有$c$的值，其中$f'(c)=-1,$用$f(x).$的導數替換$f'(c)$。

這看起來像

$2c=-1$

$c=-{\frac {1}{2}}$

問題的答案是$c=-{\frac {1}{2}}$

練習題

確定平均值定理是否適用，如果適用，找到開區間 $(a,b)$ 中的所有 c 值，使得，$f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}.$

$1.f(x)=x^{3}-x^{2}-2x,[-1,1].$

$2.f(x)={\frac {x+1}{x}},[{\frac {1}{2}},2].$

$3.f(x)={\sqrt {2-x}},[-7,2].$