高中微積分/隱函式求導

隱函式求導

當 **x** 和 **y** 之間的函式關係無法輕易地解出 **y** 時，可以將前面的規則直接應用於隱函式。

導數通常包含 **x** 和 **y** 。因此，代數函式的導數，由將 **x** 和 **y** 的多項式設為零來定義。

例 1

給定 x 的函式 y

$x^{5}+y^{5}-5xy+1=0$

求 ${\operatorname {d} y \over \operatorname {d} x}$

因為

${\operatorname {d} \over \operatorname {d} x}(x^{5}+y^{5}-5xy+1)=0$

$=5x^{4}+5y^{4}{\operatorname {d} y \over \operatorname {d} x}-5y-5x{\operatorname {d} y \over \operatorname {d} x}=0$

在求解 ${\operatorname {d} y \over \operatorname {d} x}$ 之前，我們必須先對求導問題進行因式分解

這樣得到

${\operatorname {d} y \over \operatorname {d} x}(5y^{4}-5x)+(5x^{4}-5y)=0$

從這裡，我們將 ${\operatorname {d} y \over \operatorname {d} x}$ 移到一邊

這樣得到

$5x^{4}-5y=-{\operatorname {d} y \over \operatorname {d} x}(-5x+5y^{4})$

在這裡，我將跳過求解這個隱函式求導問題的一步。我將跳過將 -1 除到另一邊的步驟。

從這裡，我們將 $\operatorname {d} y \over \operatorname {d} x$ 的多項式除到另一邊。得到

$\left({\frac {-5x^{4}+5y}{-5x+5y^{4}}}\right)={\operatorname {d} y \over \operatorname {d} x}$

現在我們簡化得到

${\operatorname {d} y \over \operatorname {d} x}=\left({\frac {x^{4}-y}{x-y^{4}}}\right)$

其他練習題

例 2

求 ${\operatorname {d} y \over \operatorname {d} x}$，給定函式

$xy^{2}+x^{2}y=1$

例 3

求 ${\operatorname {d} y \over \operatorname {d} x}$，給定函式

$x+y+(x-y)^{2}+(2x-3y)^{3}=0$