高中微積分/用部分分式積分

用部分分式積分

用部分分式積分有幾種不同的方法。我將向您展示的是我最熟悉的一種。

關鍵是要意識到如何將分母拆分成兩個或多個分數。分子將包含像 A、B、C 這樣的佔位符。根據分母需要如何拆分，您可能會有 Ax + B 或其變體。

因為我認為這在例子中會更好地解釋，所以我將給您舉一個例子。

例 1

$\int {\frac {1}{x^{2}-4}}\operatorname {d} x$

透過一些因式分解，我們可以看到 $x^{2}-4$ 也等於 $(x+2)(x-2)$

我現在要先省略積分符號，這樣您就不會感到困惑，而且您可以看到我對分數做了什麼。

${\frac {A}{x+2}}+{\frac {B}{x-2}}$

為了得到分子，我們需要乘以 LCD

$1=A(x-2)+B(x+2)$

我們把它設為 1，因為 1 是原始分子中的數字。

現在我們可以選擇先解 A 或 B。為了做到這一點，我們必須找到其中一個等於 0 的時候。

當 x = 2 時
$1=A(0)+B(4)$

$B={\frac {1}{4}}$

現在讓我們找到 A

當 x = -2 時
$1=A(-4)+B(0)$

$A=-{\frac {1}{4}}$

這意味著
${\frac {\left(-{\frac {1}{4}}\right)}{x-2}}+{\frac {\left({\frac {1}{4}}\right)}{x+2}}$

現在我們知道部分分式是什麼了，現在我們可以進行積分了。

$\int {\frac {1}{4(x+2)}}\operatorname {d} x-\int {\frac {1}{4(x-2)}}\operatorname {d} x$

$={\frac {\ln(\left\vert {x+2}\right\vert )}{4}}-{\frac {\ln(\left\vert x-2\right\vert )}{4}}$

$={\frac {1}{4}}\ln \left({\frac {\left\vert x+2\right\vert }{\left\vert x-2\right\vert }}\right)$

其他練習題

${\frac {x^{2}+3x+2}{(x-2)^{2}(x+1)}}$