高中微積分/換元積分法

換元積分法

有一個定理可以幫助你進行積分的換元。它被稱為**定積分的變數替換**。

定理的形式如下：

$\int _{a}^{b}f(x)\operatorname {d} x=\int _{\alpha }^{\beta }f(g(u))g\prime (u)\operatorname {d} u$

為了得到$\alpha$，你必須將a代入函式g；為了得到$\beta$，你必須將b代入函式g。

最難的部分是識別你想把什麼設為u。有時簡單的換元法還不夠，你可能需要使用分部積分法。這將在另一節中討論。

例1

$\int _{0}^{2}x(x^{2}+1)^{2}\operatorname {d} x$

我們不會將它展開成一個大的多項式，而是直接使用換元法。

步驟1

確定你的u

令$u=x^{2}+1$

步驟2

確定$\operatorname {d} u$

$\operatorname {d} u=2x\operatorname {d} x$

步驟3

現在我們將積分上限代入u，以找到新的積分上限。

當$x=0,u=0^{2}+1=1$

當$x=2,u=2^{2}+1=5$

現在我們的積分問題看起來像這樣：

${\frac {1}{2}}\int _{0}^{5}(x^{2}+1)^{2}(2x)\operatorname {d} x$

步驟4

寫出你的新積分問題

當我們代入u後，它看起來像：

${\frac {1}{2}}\int _{0}^{5}(u)^{2}\operatorname {d} u$

步驟5

計算積分

${\frac {1}{2}}\left[{\frac {1}{3}}u^{3}\right]_{0}^{5}$

${\frac {1}{2}}\left[\left({\frac {1}{3}}*5^{3}\right)-\left({\frac {1}{3}}*0^{3}\right)\right]$

${\frac {1}{2}}\left[{\frac {1}{3}}*125\right]$

${\frac {1}{2}}\left[{\frac {125}{3}}\right]$

${\frac {125}{6}}$

正如你所看到的，這個過程簡化得相當好。對於大多數人來說，一開始使用替換可能很困難。一旦你掌握了這種方法，你每次都會越來越快地完成它。

我還會給你一些其他問題讓你練習。

例 2

$\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin(x)\cos(x)\operatorname {d} x$

例 3

$\int _{-1}^{2}{\sqrt {x^{2}+4}}(2x)\operatorname {d} x$

解題

例 2

令 $u=\sin(x)$

然後 $\operatorname {d} u=\cos(x)\operatorname {d} x$

當 x = 0 時
$\sin(0)=0$
以及當 $x={\frac {\pi }{2}}$
$\sin \left({\frac {\pi }{2}}\right)=1$

因此，

$\int _{0}^{1}u\operatorname {d} u$

$\left[{\frac {1}{2}}u^{2}\right]_{0}^{1}$

$\left[{\frac {1}{2}}\sin ^{2}(1)\right]-\left[{\frac {1}{2}}\sin ^{2}(0)\right]$

$={\frac {1}{2}}\sin ^{2}(1)$

例 3

令 $u=x^{2}+4$

那麼 $\operatorname {d} u=2x$

代入我們的積分上限和下限，得到新的積分上限和下限

當 x = -1
$(-1)^{2}+4=5$
當 x = 2
$2^{2}+4=8$

我們新的積分問題是

$\int _{5}^{8}(u)^{\frac {1}{2}}\operatorname {d} u$

得出結果

$\left[{\frac {2}{3}}u^{\frac {3}{2}}\right]_{5}^{8}$

$=\left[{\frac {2}{3}}*(x^{2}+4)\right]_{5}^{8}$

$=\left[{\frac {2}{3}}*(8^{2}+4)\right]-\left[{\frac {2}{3}}*(5^{2}+4)\right]$

$=\left[{\frac {136}{3}}\right]-\left[{\frac {58}{3}}\right]$

$=26$