高中微積分/洛必達法則

洛必達法則

這是一個非常有趣的規則。正如在其他章節中所解釋的那樣，你所學過的處理分數極限的方法是因式分解。洛必達法則是一種更簡單的方法，可以用來處理這些分數極限函式。

當使用這個規則時，你必須首先證明在評估極限時會得到一個不定式。

不定式可以用不同的方式表達。

不定式： ${\frac {0}{0}}$, ${\frac {\infty }{\infty }}$, $0*\infty$, ${\frac {-\infty }{-\infty }}$, $\infty -\infty$, ${\frac {-\infty }{\infty }}$, ${\frac {\infty }{-\infty }}$, $0^{0}$, $1^{\infty }$, $\infty ^{0}$

有很多，但你越是使用它們並熟悉這些不定式，它們就會被你牢記於心。

例：1

證明該極限是不定式

$\lim _{x\to 0}{\frac {x^{2}}{x}}$

洛必達法則的下一步是將分數看作 ${\frac {f(x)}{g(x)}}$

只要 $g(x)\neq 0$，你就可以使用洛必達法則。

洛必達法則的公式為 $\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}$，只要 f 和 g 在開區間 (a,b) 上可微。

例：2

確定你是否可以使用洛必達法則。如果可以，則使用洛必達法則計算極限。

$\lim _{x\to 0}{\frac {3x^{3}-x}{x-5}}$

你會注意到，當嘗試使用洛必達法則評估一些極限時，函式只是來回切換。當這種情況發生時，你可能需要將一個變數乘以函式，只要它等於1。

例如：3

確定是否可以使用洛必達法則。如果可以，那麼使用洛必達法則評估極限。

$\lim _{x\to \infty }{\frac {\sqrt {x}}{\sqrt {x+1}}}$

示例 3 的解決方案

$\lim _{x\to \infty }{\frac {\sqrt {x}}{\sqrt {x+1}}}={\frac {\infty }{\infty }}$

$\lim _{x\to \infty }{\frac {\frac {1}{2*{\sqrt {x}}}}{\frac {1}{2*{\sqrt {x+1}}}}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {\sqrt {x+1}}{\sqrt {x}}}$

$\lim _{x\to \infty }{\frac {\frac {1}{2*{\sqrt {x+1}}}}{\frac {1}{2*{\sqrt {x}}}}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {\sqrt {x}}{\sqrt {x+1}}}$

正如你所看到的，我們沒有取得任何進展。需要做一些其他事情。

$\lim _{x\to \infty }{\frac {\sqrt {x}}{\sqrt {x+1}}}*{\frac {\frac {1}{x^{2}}}{\frac {1}{x^{2}}}}$

$\lim _{x\to \infty }{\frac {\sqrt {\frac {x}{x}}}{\sqrt {{\frac {x}{x}}+{\frac {1}{x}}}}}$

$\lim _{x\to \infty }{\frac {1}{\sqrt {1+{\frac {1}{x}}}}}$

${\frac {1}{\sqrt {1+{\frac {1}{\infty }}}}}$

${\frac {1}{\sqrt {1+0}}}=1$

$L=1$