高中微積分/洛必達法則

洛必達法則

這是一個非常有趣的法則。正如在其他部分中所解釋的那樣，你所學習的處理分數極限的方法是透過因式分解。洛必達法則是一種更容易處理這些分數極限函式的方法。

當你使用這個法則時，你必須首先證明在計算極限時得到一個不定式。

不定式可以以多種不同的方式出現。

不定式： ${\frac {0}{0}}$, ${\frac {\infty }{\infty }}$, $0*\infty$, ${\frac {-\infty }{-\infty }}$, $\infty -\infty$, ${\frac {-\infty }{\infty }}$, ${\frac {\infty }{-\infty }}$, $0^{0}$, $1^{\infty }$, $\infty ^{0}$

它們很多，但你越使用它們，越熟悉這些不定式，它們就會被記入腦海。

示例 1

證明極限是一個不定式

$\lim _{x\to 0}{\frac {x^{2}}{x}}$

洛必達法則的下一步是將分數視為 ${\frac {f(x)}{g(x)}}$

只要 $g(x)\neq 0$，你可以使用洛必達法則。

洛必達法則的公式是 $\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}$，只要 f 和 g 在開區間 (a,b) 上可微。

示例 2

確定你是否可以使用洛必達法則。如果可以，則使用洛必達法則計算極限。

$\lim _{x\to 0}{\frac {3x^{3}-x}{x-5}}$

你會注意到，當嘗試使用洛必達法則計算一些極限時，函式只是來回切換。當這種情況發生時，你可能需要將一個變數乘以函式，只要它等於 1。

示例 3

確定你是否可以使用洛必達法則。如果可以，則使用洛必達法則計算極限。

$\lim _{x\to \infty }{\frac {\sqrt {x}}{\sqrt {x+1}}}$

示例 3 的解決方案

$\lim _{x\to \infty }{\frac {\sqrt {x}}{\sqrt {x+1}}}={\frac {\infty }{\infty }}$

$\lim _{x\to \infty }{\frac {\frac {1}{2*{\sqrt {x}}}}{\frac {1}{2*{\sqrt {x+1}}}}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {\sqrt {x+1}}{\sqrt {x}}}$

$\lim _{x\to \infty }{\frac {\frac {1}{2*{\sqrt {x+1}}}}{\frac {1}{2*{\sqrt {x}}}}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {\sqrt {x}}{\sqrt {x+1}}}$

正如您所見，我們沒有取得任何進展。需要做些其他的事情。

$\lim _{x\to \infty }{\frac {\sqrt {x}}{\sqrt {x+1}}}*{\frac {\frac {1}{x^{2}}}{\frac {1}{x^{2}}}}$

$\lim _{x\to \infty }{\frac {\sqrt {\frac {x}{x}}}{\sqrt {{\frac {x}{x}}+{\frac {1}{x}}}}}$

$\lim _{x\to \infty }{\frac {1}{\sqrt {1+{\frac {1}{x}}}}}$

${\frac {1}{\sqrt {1+{\frac {1}{\infty }}}}}$

${\frac {1}{\sqrt {1+0}}}=1$

$L=1$