高中微積分/相關變化率

相關變化率

當您需要找到兩個或多個相關變數的變化率時，可以使用鏈式法則來找到這些相關變化率。

請記住，您可以將導數視為您正在求導的函式的變化率。

在相關變化率的情況下，您正在對時間 t 進行微分。

在解決相關變化率問題時，以下是一些可以幫助解決問題的步驟。

1. 識別所有給定的變數和所有需要確定的變數。

2. 畫出場景的示意圖。

3. 找到一個與所有變數相關的方程，已知或未知。

4. 使用鏈式法則對時間進行隱式微分。

5. 代入所有已知資訊。

6. 求解未知變數。

示例

想象一個氣球被充氣。如果我們知道體積的變化率是每秒 8 英寸，那麼當氣球半徑為 4 英寸時，半徑的變化率是多少？

這些是相關變化率。

第一步是確定所有已知和未知變數。

我們知道體積變化率是每秒 8 英寸，氣球半徑將為 4 英寸。我們試圖找到半徑的變化率。

第二步是畫一個示意圖，它顯示當空氣被泵入氣球時，氣球的半徑會膨脹。

第三步，我們需要一個將這些變數聯絡起來的方程。

由於我們正在處理球體的體積，我們知道這個方程是：$V={\frac {4}{3}}{\pi }r^{3}.$

第四步，我們需要對時間進行微分，這看起來像

${\frac {dV}{dt}}=4{\pi }r^{2}{\frac {dr}{dt}}.$

第五步，我們需要代入所有已知資訊，即體積的變化率和球體的半徑。

$8=4{\pi }(4)^{2}{\frac {dr}{dt}}$

$8=64{\pi }{\frac {dr}{dt}}.$

最後，我們需要求解半徑的變化率。由於所有單位都是英寸，因此無需事先進行更改。

${\frac {8}{64{\pi }}}={\frac {dr}{dt}}$

${\frac {1}{8{\pi }}}={\frac {dr}{dt}}.$

半徑變化率為${\frac {1}{8{\pi }}}$ 毎秒。

有時相關變化率可能更加困難，涉及多個未知變數。在這些情況下，您可能需要使用多個方程來找到未知變數，然後再找到您最初要找的未知變數。

相關變化率的情況可以是多種多樣的，從體積到飛機的速度，到籃球等等。

另外要注意的是變數的單位。在某些情況下，您可能需要將變數轉換為匹配的單位。

以下是一些常用於相關變化率的方程。

圓/球體：面積 = ${\pi }r^{2}$ 體積 = ${\frac {4}{3}}{\pi }r^{3}$ 表面積 = $4{\pi }r^{2}$

距離公式：$d={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$

圓錐：底面積 A = ${\pi }r^{2}$ 體積 = ${\frac {Ah}{3}}$

圓柱體：體積 = ${\pi }r^{2}h$

練習題

一個人在觀看飛機飛過。設 z 為此人到飛機的距離。設 x 為飛機和此人之間的水平距離。如果 z 減少的速度是每小時 200 英里，當 z = 5 英里時，飛機的實際速度是多少？

*提示* 使用距離公式，並繪製一個正在發生的事情的示意圖。

一個小孩正在將沙子倒入一個圓錐形的堆裡。如果沙子以每秒 5 立方厘米的速度落下，如果底部的直徑是堆高兩倍，當堆高為 10 釐米時，堆高變化的速度是多少？