高中微積分/切線與變化率

在數學中，當我們說函式時，我們指的是一個根據其定義域變化方式改變其輸出值的方程。簡單來說，就是當一個量變化時，另一個相關的量如何變化。在進入本節之前，最好先閱讀有關圖形和函式的內容。

在微積分中，微分是一個極其重要的概念。微積分的所有其他部分都依賴於微分，即當x變化時函式的瞬時變化率。正如大多數人認為的，這不是一個難的概念，整個微積分的概念並不難，但它很美妙。在學習函式的導數之前，為了理解這個概念，我們需要對切線和函式的變化率有一個很好的理解（這將在下面解釋）。

也許你之前在幾何課上學過切線這個術語，即使在微積分中，當我們說切線或切線時，我們基本上都在考慮那個古老的含義。解釋這個概念最簡單的方法是用圖形來表示這個概念。如果你看到了上面的圖片，你會看到我們有一個曲線函式和另一條線接觸曲線，另一條線接觸曲線的區域是無限小的。這就是切線的表示。這就是微分或求函式導數的整個概念。

切線的另一個術語是函式的斜率。找到斜率的方法是，假設你的函式是線性的，

斜率 = Y 變化量 / X 變化量 = Y2-Y1 / X2-X1

需要清晰的數學方程影像

讓我們考慮一個像 y=x^2 的曲線，這是世界上最簡單的曲線。你會發現這種方法不適用於曲線。自己試試看。你不會得到一個恆定的答案。因為這個函式的斜率或梯度一直在變化。

理解切線的數學方法。

我們利用你對普通術語“切線”的理解來從數學上理解它。為了繼續在本節中閱讀，你應該熟悉函式的極限概念。本書的開頭部分有關於它的章節。

我簡單解釋一下。假設我們有一個函式 y=f(x)，當x接近某個值但不等於那個值時，y 接近什麼。讓我舉個例子，這樣你就能簡單地理解它。如果你熟悉函式 y=1/x，你會注意到當 x=0 時，這個函式的輸出值是不確定的，如果你從右側向 0 替換 x 值，你會注意到當 x 越來越小時，y 的值會大幅度增加，y 會接近 + 無限大。如果你從左側來，你會注意到 y 會接近 - 無限大。所以根據你所學的極限定義，這個函式不是一個有效的函式，因為當我們從不同的方向接近 x 時，y 值不會發散成一個值，它分別不會到 +、- 無限大。但我選擇這個函式是因為它很容易理解極限的基本概念。有很多技術可以用來簡化包含極限的方程，比如洛必達法則，你可以在本書的極限部分找到它們。

現在你已經對函式的極限有了基本的瞭解。讓我們定義切線意味著什麼。假設我們有一個函式 y=f(x)，我們需要找到當 x=a 時函式的切線，假設這個函式是一條曲線，讓我們稍微思考一下。所以根據我們從幾何學中對切線的理解，我們需要建立一條只接觸曲線的線，從邏輯上講，它是在一個無限小的區域內接觸的。

那麼，如果你只取一個小的，無限小的 x 變化量，我們稱之為“delta x”（我們稱之為 delta x，因為在數學中 delta 表示變化）。然後取一個無限小的 y 變化量，我們稱之為 dy。並將 y 的微小變化量除以 x 的微小變化量。

花點時間想想。

讓我們舉一個簡單的例子。

假設你有一個函式 (y=x^2)，我們需要找到當 x=5 時這個函式的切線。所以我們需要找到 deta x 或 dx 或無限小的 x 變化量。

需要清晰的數學影像

假設 x=[5.00000000,5.00000001]（這不是無限小的，但這就可以了！）所以 dx=5.00000001-5.00000000; dx=0.00000001;

要找到 dy，

假設，dy=Y2-Y1;（假設 Y2 和 Y1 之間的差異是無限小的）

Y2=(5.00000001)^2;（代入 x^2=y 方程）Y1=(5.00000000)^2;

Y2=25.0000001;（對上述方程進行簡化）Y1=25;（對上述方程進行簡化）

所以，

dy=25.0000001-25.0000000;

dy=0.0000001;

所以我們找到了 dy 和 dx。

dy=0.0000001; dx=0.00000001;

所以這個函式在 x=5 處的斜率應該近似等於，

dy/dx=0.0000001/0.00000001;

dy/dx=10;

需要清晰的數學影像。

好了！你剛剛找到了當 x=5 時函式 y=x^2 的切線。希望這不太多。

變化率和切線之間的關係。