高中微積分/微分技巧

微分技巧

導數的定義， $f'(x)=\lim _{{\Delta }x\rightarrow 0}{\frac {f(x+{\Delta }x)-f(x)}{{\Delta }x}}$ 並不是找到導數的唯一方法。本節提供了三種不同的技巧來幫助找到導數。這些技巧通常比導數的定義更快，具體取決於給定的方程。本節的最後一部分介紹瞭如何計算高階導數。

冪法則

第一個技巧允許您找到多個項的求和的導數。

這被稱為 冪法則。

冪法則僅在特定條件下適用。

定理

如果 n 是某個有理數，則函式 $f(x)=x^{n}$ 可微，並且

${\frac {d}{dx}}[x^{n}]=nx^{n-1}.$

為了使f在x=0處可微，n必須是一個使得 $x^{n-1}$ 在包含0的區間上定義的數。

證明

${\frac {d}{dx}}[x^{n}]=\lim _{{\Delta }x\rightarrow 0}{\frac {(x+{\Delta }x)^{n}-x^{n}}{{\Delta }x}}$

$=\lim _{{\Delta }x\rightarrow 0}{\frac {x^{n}+nx^{n-1}({\Delta }x)+{\frac {n(n-1)x^{n-2}}{2}}({\Delta }x)^{2}+.....+({\Delta }x)^{n}-x^{n}}{{\Delta }x}}$

$=\lim _{{\Delta }x\rightarrow 0}\left[nx^{n-1}+{\frac {n(n-1)x^{n-2}}{2}}({\Delta }x)+.....+({\Delta }x)^{n-1}\right]$

$=nx^{n-1}+0+.....+0$

$=nx^{n-1}{\square }.$

示例

以下是冪法則的一個示例

$f(x)=3x^{2}+2x+1$

通常情況下，您會逐步完成導數的定義，

$f'(x)=\lim _{{\Delta }x\rightarrow 0}{\frac {f(x+{\Delta }x)-f(x)}{{\Delta }x}}$

但是，您可以應用冪法則來求導數。

首先，看一下方程的第一項， $3x^{2}.$

要找到 $f'(x)$ ，首先將該項變數上的冪降到方程的前面， $(2)*(3x^{2}).$

接下來，從降到方程前面的冪中減去 1， $(2)*(3x^{1}).$

或者， $(2)(3)x=6x.$ 因此，我們現在有了導數的第一部分， $6x.$

現在，對方程的第二項和第三項執行此操作。

對於第二部分， $2x^{1}$

$(1)*(2x^{1})$

$(1)(2)(x^{0})=2.$

這表明第二部分是 $2.$

現在對於第三部分，我們注意到沒有變數， $x.$

看待這最後一部分有兩種方式：其一，沒有變數，所以這部分消失了；其二，由於沒有變數，我們用 0 乘以整個部分，因為這將是變數的冪。

無論哪種方式，第三部分都不復存在了。

現在，如果我們將這兩部分放在一起，我們就得到了答案

$f'(x)=6x+2.$

這是此方法在實際應用中的另一個示例

$f(x)=3x^{3}-4x^{2}+3x-4$

$f'(x)=(3)(3x^{3-1})-(2)(4x^{2-1})+3x^{1-1}$

$f'(x)=9x^{2}-8x+3.$

以下是一些練習題。

$f(x)=x^{2}-7x+13$

$h(x)=2x^{3}+2x-3$

$g(x)=4x^{4}-7x^{3}+2x^{2}+5x-4$

乘積法則

下一種技巧稱為**乘積法則**。

如前所述，並非所有導數都可透過冪法則求得。

雖然冪法則是一種求解許多導數的好方法，但根據您當前正在求解的方程式，還存在其他方法。

冪法則可以看作是兩個獨立函式的和，它們的導數分別是各個函式導數的和。

乘積法則介紹瞭如何求解兩個函式的乘積。

定理

兩個可導函式 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的乘積本身也是可導的。

$f(x)g(x)$ 的導數是 $f(x)*g'(x)+g(x)*f'(x).$

證明

${\frac {d}{dx}}[f(x)g(x)]=\lim _{{\Delta }x\rightarrow 0}{\frac {f(x+{\Delta }x)*g(x+{\Delta }x)-f(x)g(x)}{{\Delta }x}}$

$=\lim _{{\Delta }x\rightarrow 0}{\frac {f(x+{\Delta }x)*g(x+{\Delta }x)-f(x+{\Delta }x)g(x)+f(x+{\Delta }x)g(x)-f(x)g(x)}{{\Delta }x}}$

$=\lim _{{\Delta }x\rightarrow 0}\left[f(x+{\Delta }x)*{\frac {g(x+{\Delta }x)-g(x)}{{\Delta }x}}+g(x)*{\frac {f(x+{\Delta }x)-f(x)}{{\Delta }x}}\right]$

$=\lim _{{\Delta }x\rightarrow 0}\left[f(x+{\Delta }x)*{\frac {g(x+{\Delta }x)-g(x)}{{\Delta }x}}\right]+\lim _{{\Delta }x\rightarrow 0}\left[g(x)*{\frac {f(x+{\Delta }x)-f(x)}{{\Delta }x}}\right]$

$=\lim _{{\Delta }x\rightarrow 0}f(x+{\Delta }x)*\lim _{{\Delta }x\rightarrow 0}{\frac {g(x+{\Delta }x)-g(x)}{{\Delta }x}}+\lim _{{\Delta }x\rightarrow 0}g(x)*\lim _{{\Delta }x\rightarrow 0}{\frac {f(x+{\Delta }x)-f(x)}{{\Delta }x}}$

$=f(x)g'(x)+g(x)f'(x){\square }.$

示例

例如，取方程 $h(x)=(x^{2}+1)(x^{2}-2x-1).$

首先，考慮每個部分的導數。令 $f(x)=x^{2}+1$ 且令 $g(x)=x^{2}-2x-1.$

$f'(x)=2x$ 以及 $g'(x)=2x-2.$

現在將每個部分應用於之前的定理。

$h'(x)=f(x)*g'(x)+g(x)*f'(x)$

$h'(x)=(x^{2}+1)*(2x-2)+(x^{2}-2x-1)*(2x).$

現在我們只需要化簡。

$h'(x)=(2x^{3}+2x-2x^{2}-2)+(2x^{3}-4x^{2}-2x)$

$h'(x)=(2x^{3}-2x^{2}+2x-2)+(2x^{3}-4x^{2}-2x)$

$h'(x)=4x^{3}-6x^{2}-2.$

現在，如果乘積法則對你來說似乎不太吸引人，在可能的情況下，你可以直接化簡原始方程。

如果你將各個部分相互乘積，然後求導數，你實際上只是在使用冪法則。

有時這種方法可能更容易，但在某些情況下，你可能無法將各個部分相乘。

這是一個改變乘積規則的例子。

$h(x)=(x^{2}+1)(x^{2}-2x-1)$

$h(x)=x^{4}+x^{2}-2x^{3}-2x-x^{2}-1$

$h(x)=x^{4}-2x^{3}-2x-1.$

然後使用冪法則，

$h'(x)=4x^{3}-6x^{2}-2.$

正如你所看到的，這兩種方法都得到了相同的答案。

此外，乘積法則可以擴充套件到兩個以上的部分。

這將類似於

${\frac {d}{dx}}[f(x)g(x)h(x)]=f'(x)g(x)h(x)+f(x)g'(x)h(x)+f(x)g(x)h'(x).$

為了進一步學習，以下是一些練習題。

$h(x)=(x^{2}-2)(3x+1)$

$w(x)=(3x+2)(2x^{2}+4x)$

$p(y)=(y^{2}-3y)(5y-4)(2y^{2}+1)$

商法則

下一種技巧稱為商法則。

之前我們學習瞭如何處理兩個函式的乘積，商法則則教我們如何處理一個函式除以另一個函式的情況。

定理

兩個可導函式的商， ${\frac {f(x)}{g(x)}}$ ，本身在所有 $g(x)\neq 0.$ 時都可導。

該導數由分母函式乘以分子函式的導數，減去分子函式乘以分母函式的導數，然後除以分母函式的平方得到。

或者， ${\frac {d}{dx}}\left[{\frac {f(x)}{g(x)}}\right]={\frac {g(x)f'(x)-f(x)g'(x)}{[g(x)]^{2}}}.$

證明

${\frac {d}{dx}}\left[{\frac {f(x)}{g(x)}}\right]=\lim _{{\Delta }x\rightarrow 0}{\frac {{\frac {f(x+{\Delta }x)}{g(x+{\Delta }x)}}-{\frac {f(x)}{g(x)}}}{{\Delta }x}}$

$=\lim _{{\Delta }x\rightarrow 0}{\frac {g(x)f(x+{\Delta }x)-f(x)g(x+{\Delta }x)}{{\Delta }xg(x)g(x+{\Delta }x)}}$

$=\lim _{{\Delta }x\rightarrow 0}{\frac {g(x)f(x+{\Delta }x)-f(x)g(x)+f(x)g(x)-f(x)g(x+{\Delta }x)}{{\Delta }xg(x)g(x+{\Delta }x)}}$

$={\frac {\lim _{{\Delta }x\rightarrow 0}{\frac {g(x)[f(x+{\Delta }x)-f(x)]}{{\Delta }x}}-\lim _{{\Delta }x\rightarrow 0}{\frac {f(x)[g(x+{\Delta }x)-g(x)]}{{\Delta }x}}}{\lim _{{\Delta }x\rightarrow 0}[g(x)g(x+{\Delta }x)]}}$

$={\frac {g(x)[\lim _{{\Delta }x\rightarrow 0}{\frac {f(x+{\Delta }x)-f(x)}{{\Delta }x}}]-f(x)[\lim _{{\Delta }x\rightarrow 0}{\frac {g(x+{\Delta }x)-g(x)}{{\Delta }x}}]}{\lim _{{\Delta }x\rightarrow 0}[g(x)g(x+{\Delta }x)]}}$