高中微積分/鏈式法則

鏈式法則

在對平方根函式或冪次方量進行微分時，使用鏈式法則。

$(ax^{n}+b)^{n}$

使用鏈式法則，我們對整個冪次方量求導數，並將它乘以內部量的導數。

$n(ax^{n}+b)^{n-1}*(anx^{n-1})$ $=an^{2}x^{n-1}(ax^{n}+b)^{n-1}$

我們所做的就是將量的冪次方移到前面。從那裡我們對內部求導數，然後將我們之前的步驟乘以冪次方為 n-1 的量。

例 1

$f(x)=(2x+4)^{3}$

為了正確地對它進行微分，我們必須使用鏈式法則。首先我們取冪次方數並對其求導數。

$3(2x+4)^{2}$

從這裡我們對內部求導數

$3(2)(2x+4)^{2}$

現在我們只需要進行一些簡單的簡化即可

$f^{\prime }(x)=6(2x+4)^{2}$

這就是 $f(x)=(2x+4)^{3}$ 的導數。

其他要練習的例子

例 2

${\sqrt {4x^{5}+x}}$

記住平方根只是某物乘以 1/2 次方。

例 3

$2(x^{3}+x^{2})^{5}$

例 4

$2x(x^{2}+1)^{3}$

提示：您需要使用乘積法則和鏈式法則。

完成鏈式法則的另一種方法是將問題視為複合函式。

在這種情況下，您只需考慮對外部求導數，然後乘以內部的導數。

鏈式法則在處理冪次方函式或函式的平方根時非常有用。

以下證明概述了這個想法。

證明

令 $h(x)=f(g(x)).$

假設 $x=c$ 且當 $g(x)\rightarrow g(c)$ 時， $x\rightarrow c$

$h'(c)=\lim _{x\rightarrow c}{\frac {f(g(x))-f(g(c))}{x-c}}$

$=\lim _{x\rightarrow c}[{\frac {f(g(x))-f(g(c))}{g(x)-g(c)}}*{\frac {g(x)-g(c)}{x-c}}]$ 且 $g(x)\neq g(c)$

$=[\lim _{x\rightarrow c}{\frac {f(g(x))-f(g(c))}{g(x)-g(c)}}][\lim _{x\rightarrow c}{\frac {g(x)-g(c)}{x-c}}]$

$=f'(g(c))g'(c){\square }.$

為了求導數，您可以考慮這個證明。

您可以使用任何您認為可行的方法來求導數。

該方法的一個例子如下：

$h(x)=(3x-1)^{2}.$

設 $g(x)=3x-1$ 且 $f(x)=x^{2}.$

根據鏈式法則， $f'(x)=2x.$

在本題中， $g(x)$ 在 $f(x).$ 內部。

那麼， $f'(g(x))=2g(x).$

但由於鏈式法則，我們還必須乘以 $g'(x).$ 因此，我們得到 $2g(x)g'(x)$

我們還看到， $g'(x)=3.$

所以，如果我們將這些都放在一起，我們得到 $h'(x)=2(3x-1)(3)$

$h'(x)=6(3x-1).$

您可能已經注意到，在某些情況下，鏈式法則可以乘出來以建立一個簡單的冪法則。

對於前面的示例，如果將冪乘出來，則會剩下一個更簡單的方程。

在某些情況下，鏈式法則更容易。

$h(x)=(3x-1)^{2}$

$h(x)=(3x-1)(3x-1)$

$h(x)=9x^{2}-6x+1$

$h'(x)=18x-6$

$h'(x)=6(3x-1).$

鏈式法則變得非常有效的另一個原因是在處理三角函式時。

例如， $f(x)=sin(2x)$ 的導數不是 $f'(x)=cos(2x)$ 。

相反，透過應用鏈式法則， $f'(x)=2cos(2x).$

這表明，每當將三角函式應用於除 x 之外的函式時，鏈式法則都是有用的。

有時，您可能需要多次應用鏈式法則。

這是一個例子

$f(x)=sin^{3}(3x)$

$f'(x)=3sin^{2}(3x)cos(3x)(3)$

$f'(x)=9sin^{2}(3x)cos(3x).$

如您所見，首先應用鏈式法則找到外部函式的導數，即正弦函式上的冪。

接下來，找到正弦函式本身的導數。

最後一步是找到正弦函式內部的導數。

此方法需要兩次應用鏈式法則。其他問題可能需要更多次應用鏈式法則。