高中微積分/一階導數檢驗

一階導數檢驗

導數的定義告訴我們，導數是函式在某一點切線的斜率。

導數也可以告訴我們函式在某一點是遞減還是遞增。

函式 $f(x)$ 在一個區間上是遞增的，如果在該區間內有兩個數字 $x_{1}$ 和 $x_{2}$ ，在區間 $x_{1}<x_{2},$ 中，$f(x_{1})<f(x_{2})$ 成立。

函式 $f(x)$ 在一個區間上是遞減的，如果在該區間內有兩個數字 $x_{1}$ 和 $x_{2}$ ，在區間 $x_{1}<x_{2},$ 中，$f(x_{1})>f(x_{2})$ 成立。

如果函式 $f(x)$ 在閉區間 $[a,b],$ 上是連續的，在開區間 $(a,b),$ 上是可微的，那麼以下適用

1. 如果 $f'(x)>0$ 對 $(a,b),$ 中的任意 $x$ 成立，那麼 $f(x)$ 在 $[a,b].$ 上是遞增的。

2. 如果 $f'(x)<0$ 對所有 $x$ 在 $(a,b),$ 則 $f(x)$ 在 $[a,b].$ 上是遞減的。

3. 如果 $f'(x)=0$ 對所有 $x$ 在 $(a,b),$ 則 $f(x)$ 在 $[a,b].$ 上是常數。

在上一節中，我們學習了絕對最小值/最大值。在一個函式內部，可能存在其他極值，稱為相對極值。

函式的相對極值是指函式上比其附近所有點都低或高的點。這些點在一個給定的函式內形成“山峰”或“山谷”。

相對極值出現在函式的導數在該點從遞增變為遞減或從遞減變為遞增的點上。

如果導數從遞增變為遞減，則該點稱為相對最大值。

如果導數從遞減變為遞增，則該點稱為相對最小值。

透過找到函式的相對極值，您可以使用該點上函式的導數來計算這些極值是否是相對最小值或最大值。

相對極值總是函式的臨界點。

示例

找到 $f(x)=x^{3}-{\frac {3}{2}}x^{2}.$ 的相對極值。

首先，檢查該函式是否對所有 $x.$ 連續。

我們可以看到該函式對所有 $x$ 都存在，因此它是連續的。

其次，使用函式的導數找到 $f(x)$ 的臨界數。

透過設定 $f'(x)=0.$ 來找到臨界數。

$f'(x)=3x^{2}-3x$

$3x^{2}-3x=0$

$x(3x-3)=0$

$x=0,1.$

第三，用臨界點建立區間。

因為我們有兩個臨界點，所以我們將有三個區間。它們是

$-\infty <x<0,0<x<1,1<x<\infty .$

第四，確定 $f'(x)$ 在每個區間上是遞增還是遞減。透過評估每個區間內的測試值來做到這一點。

在大多數情況下，建立表格來整理當前資料是有益的。

區間	$-\infty <x<0$	$0<x<1$	$1<x<\infty$
測試值	$x=-1$	$x={\frac {1}{2}}$	$x=2$
$f'(x)$ 的符號	$f'(-1)=6$	$f'({\frac {1}{2}})={\frac {-3}{4}}$	$f'(2)=6$
遞增/遞減	遞增	遞減	遞增

最後，確定是否存在任何相對最大值或最小值。

由於 $f'(x)$ 從遞增變為遞減再變為遞增，我們可以得出結論，在 $x=0,$ 處有一個相對最大值，在 $x=1.$ 處有一個相對最小值。

練習題

找出給定函式的相對極值。

$1.f(x)=x^{2}-6x$

$2.f(x)=x^{4}-32x+4$

$3.f(x)=x+{\frac {1}{x}}$