高中微積分/微積分基本定理

微積分基本定理

為了理解微積分基本定理，我們必須首先理解什麼是原函式。

函式$f(x)$的原函式是任何一個函式，通常用$F(x)$表示，使得$F^{\prime }(x)=f(x)$

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$\int f(x)=F(x)+C$

讓我們做一些練習

例1

求$f(x)=x^{3}$的原函式是$F(x)={\frac {1}{4}}x^{4}+C$

C代表某個常數。其原因是，當對獨立常數進行求導時，結果為0。

當你對這個問題求導時，你將得到$x^{3}$

一般來說，$x^{k}$的原函式是${\frac {1}{k}}*x^{k+1}$

例2

$f(x)=x^{2}+3$

$\int x^{2}+3\operatorname {d} x$

$F(x)=\int x^{2}\operatorname {d} x+\int 3\operatorname {d} x$

$F(x)={\frac {1}{3}}x^{3}+3x+C$

當處理含有加號或減號的函式時，可以分別對其進行積分，這可以幫助你更好地理解正在發生的事情。經過足夠的練習，你將不再需要這樣做。請記住在積分之間保留適當的符號。

例3

$f(x)=85x^{7}$

$F(x)=\int 85x^{7}\operatorname {d} x$

$F(x)=85*\int x^{7}\operatorname {d} x$

$F(x)=85[{\frac {1}{8}}x^{8}]$

$F(x)={\frac {85}{8}}x^{8}+C$

這裡所做的操作是將一個常數倍數提取出來。當函式中存在一個共同的常數倍數時，可以將其從積分中提取出來，以便更容易地進行計算。只是在完成計算後不要忘記將其乘回去。