高中化學/玻爾模型

在上一課中，你瞭解到，當不同的元素的原子受到電火花或電流的撞擊時，它們會產生不同的原子光譜。這種現象確實相當令人費解。為什麼原子在暴露於電流時會發出光？為什麼發射的光只在特定的波長上？為什麼不同的元素有不同的原子光譜？當然，這些原子光譜一定能告訴我們一些關於它們來源原子的資訊，但這一切到底意味著什麼呢？這些是 20 世紀初科學家們在丹麥物理學家尼爾斯·玻爾（圖 5.15）對原子光譜和原子性質產生興趣時所提出的問題。

圖 5.15：尼爾斯·玻爾的肖像。

課程目標

• 根據玻爾模型定義能級。
• 利用公式 $E_{n}={\tfrac {-Rhc}{n^{2}}}$ 找到給定玻爾軌道能量。
• 討論如何利用玻爾模型解釋原子光譜。

玻爾利用原子光譜發展了他的模型

因此，光的波長（或顏色）與光的頻率有關，而光的頻率又與光的能量有關。所有這些關係都在電磁波譜中總結。請記住，光的波長越小（可見光譜的藍色端），頻率越大，能量越大。類似地，光的波長越大（可見光譜的紅色端），頻率越小，能量越小。

當尼爾斯·玻爾開始思考原子和原子光譜時，他意識到光波粒二象性剛剛被發現。他知道，特定的波長（或顏色）的光與光的能量有關。因此，玻爾意識到，元素的原子光譜中出現的彩色線條不僅對應於這些波長的光，也對應於特定的頻率，更重要的是，對應於特定的光能量。因此，一個重要的問題是，為什麼原子只在非常特定的能量下發射光？尼爾斯·玻爾意識到，這個不尋常的結果可以用他提出的所謂能級來解釋。什麼是能級？

電子能量是量子化的

你已經瞭解到，一塊放在地面上的石頭會釋放勢能，因為它會落下。尼爾斯·玻爾意識到，為了使原子釋放能量，原子內部一定存在類似的“下降”過程。由於玻爾，像盧瑟福一樣，知道原子中的質子都束縛在微小的原子核中，因此，在原子中可以“下降”的明顯的亞原子物體就是電子。因此，玻爾提出了一個模型，在這個模型中，電子繞原子核旋轉，並且偶爾會靠近原子核，在此過程中釋放能量。根據玻爾的說法，當原子的電子向原子核下降時，從原子中釋放出來的能量會以光的形式出現。他認為，這種光會產生原子光譜，這些光譜可以在電流透過元素時看到。

當然，玻爾的這些論點都沒有解釋為什麼在每個元素的原子光譜中只出現特定能量。如果你把一塊石頭舉到地面上，然後把它掉下來，它會釋放特定的能量。如果你把石頭稍微抬高一點，它會釋放稍微多的能量。如果你把石頭稍微降低一點，它會釋放稍微少的能量。事實上，似乎你可以讓石頭釋放任何你想要的能量，只要把它升降到地面上的不同高度。但對於電子來說，情況顯然不同。對於電子來說，似乎只有幾個可以下降的能級。至少，這就是玻爾的結論，這也是他提出原子能級存在的原因。

根據玻爾的說法，原子中的電子只允許存在於某些能級上。當電子獲得能量時（它們可以從透過的電流、電火花、熱量或光線中獲得能量），它們可以從較低能級跳到較高能級，當它們失去能量時（它們以光的形式釋放能量），它們可以從較高能級下降到較低能級。最重要的是，電子不能存在於允許的能級之間。許多人把玻爾的能級比作樓梯。想象一下，一個孩子在樓梯上跳上跳下。孩子可以停留在任何一個臺階上，並停留在那裡。如果他輸入能量，他就可以跳到更高的臺階。如果他讓自己的身體落下，他就可以降到較低的臺階。然而，孩子不能在兩個臺階之間的水平上懸停，就像電子不能在原子的兩個能級之間懸停一樣。

就像孩子不能在樓梯的兩個臺階之間懸停一樣，玻爾認為電子不能在原子的兩個能級之間懸停。

玻爾進一步利用物理學原理髮展了他的能級模型。在物理學中，正電荷和負電荷的能量取決於它們之間的距離。因此，玻爾認為，他的能級必須對應於軌道，即以原子核為中心的圓形路徑。由於被困在某個軌道上的電子始終與原子核保持恆定的距離，因此玻爾指出，在一個軌道內，電子的能量是恆定的。當然，事實上，只有某些能級是允許的，這也意味著只有某些軌道是允許的。圖 5.16 顯示了玻爾模型的示意圖。在圖中，從n = 1 到n = 4 的每個圓都是一個允許的軌道。

圖 5.16：原子玻爾模型的示意圖。

注意，在任何給定的軌道上，負電子始終與正原子核保持相同的距離，無論該軌道上的任何位置。因此，軌道內的電子始終具有相同的能量。當電子被電流撞擊時，它會獲得能量，並可以被提升到遠離原子核的更高能級軌道。另一方面，當電子失去能量時，它會回落到更靠近原子核的較低能級軌道。電子永遠不能存在於允許的軌道之間的距離。請注意，這限制了電子可以進行的不同躍遷的次數。因為電子只能存在於某些軌道中，因此只能具有某些能量，所以我們說電子的能量是量子化的。

玻爾利用一個公式來確定允許的能級

雖然玻爾對原子軌道的描述模型很好地解釋了為什麼原子應該具有不連續的原子光譜，但很難透過實驗進行驗證。幸運的是，利用高階物理學，玻爾模型可以用來推匯出一個氫原子中允許軌道能量的數學表示式。正如你將在下一節中看到的，這些軌道的能量實際上決定了氫的原子光譜中出現哪些波長的光，這意味著玻爾模型實際上可以透過實驗進行驗證。預測氫原子允許軌道能量的方程是

$E_{n}={\frac {-Rhc}{n^{2}}}$

這裡E_n是第n個軌道的能量（換句話說，是第1、2、3、4等等軌道的能量），R是氫的裡德伯常數（始終為R = 1.097×10⁷ m⁻¹），h是普朗克常數（始終為h = 6.63×10⁻³⁴ J · s），c是光速（始終為c = 3.00×10⁸ m/s），而n是您感興趣的軌道的編號。n可以是1到無窮大的任何整數（沒有小數！），n = 1, 2, 3, 4 … ∞。如5.16圖所示，n = 1是距離原子核最近的軌道，n = 2是下一個軌道，n = 3是下一個軌道，依此類推。換句話說，n隨著距離原子核的距離增加而增加。讓我們用這個等式看幾個例子。

示例 1 氫原子中第三個允許軌道的能量是多少？ 解決方案: 普朗克常數，h = 6.63×10−34 J · s 氫的裡德伯常數R = 1.097×107 m−1（請注意，您不需要給出h、R或c，因為它們都是常數） 光速，c = 3.00×108 m/s n = 3 $E_{n}={\frac {-R\times h\times c}{n^{2}}}$ $E_{n}=-{\frac {(1.097\times 10^{7}\,{\text{m}}^{-}1)\times (6.63\times 10^{-34}\,{\text{J}}\cdot {\text{s}})\times (3.00\times 10^{8}\,{\text{m/s}})}{(3)^{2}}}$ $E_{n}=-{\frac {(7.27\times 10^{-27}\,{\text{J}}\cdot {\text{s}})\times (3.00\times 10^{8}\,{\text{m/s}})}{9}}$ $E_{n}=-{\frac {(2.18\times 10^{-18}\,{\text{J}})}{9}}$ $E_{n}=-2.42\times 10^{-19}\,{\text{J}}$ （小心不要漏掉負號！這些能量應該始終為負值。）

示例 2 氫原子中第二個允許軌道的能量是多少？ 解決方案: 普朗克常數，h = 6.63×10−34 J · s 氫的裡德伯常數R = 1.097×107 m−1（再次注意，您不需要給出h、R或c，因為它們都是常數） 光速，c = 3.00×108 m/s n = 2 $E_{n}={\frac {-R\times h\times c}{n^{2}}}$ $E_{n}=-{\frac {(1.097\times 10^{7}\,{\text{m}}^{-}1)\times (6.63\times 10^{-34}\,{\text{J}}\cdot {\text{s}})\times (3.00\times 10^{8}\,{\text{m/s}})}{(2)^{2}}}$ $E_{n}=-{\frac {(7.27\times 10^{-27}\,{\text{J}}\cdot {\text{s}})\times (3.00\times 10^{8}\,{\text{m/s}})}{4}}$ $E_{n}=-{\frac {(2.18\times 10^{-18}\,{\text{J}})}{4}}$ $E_{n}=-5.45\times 10^{-19}\,{\text{J}}$ (再次注意不要丟掉負號！)

目前，這些可能看起來像是相當無聊的計算，但在下一節中，我們將看到像上面兩個這樣的能級計算實際上可以用來預測氫原子的原子光譜。 當科學家在 20 世紀初第一次做到這一點時，他們對這個簡單的方程預測氫原子發射的光的顏色竟如此準確感到驚訝。

電子改變能級產生的原子光譜

假設你去商店時錢包裡有 10 美元，回家時只有 4 美元。你在商店花了多少錢？答案很簡單 - 你顯然花了 6 美元。對於電子來說，情況類似。如果它們從 10 個能量單位開始，然後下降到 4 個能量單位，那麼它們在這個過程中會損失 6 個能量單位。為了用數學語言表達這一點，我們寫

$\Delta E_{i\to f}\,\!$	$=\,\!$	$E_{f}\,\!$	$-\,\!$	$E_{i}\,\!$
${\text{Change in energy from initial state,}}\ i{\text{, to final state,}}\ f\,\!$		${\text{Energy in final state,}}\ f\,\!$		${\text{Energy in the state,}}\ i\,\!$

然而，當電子“損失”能量時，它們是透過以光的形式釋放能量來損失的。我們已經計算了氫原子第三軌道中電子的能量，為 −2.42×10⁻¹⁹ J，以及氫原子第二軌道中電子的能量，為 −5.45×10⁻¹⁹ J。一個從氫原子第三軌道降落到氫原子第二軌道的電子，從 −2.42×10⁻¹⁹ J 開始，以 −5.45×10⁻¹⁹ J 結束，因此在這個過程中它損失了 −3.03×10⁻¹⁹ J。這可以用數學方法計算出來。(不要太擔心這個損失的能量帶有負號。只要原子獲得能量，符號就會是正的，只要原子損失能量，符號就會是負的)。

初始狀態，i = 3

最終狀態，f = 2

$\Delta E_{i\to f}=\,\!$	$\Delta E_{3\to 2}\,\!$
$E_{f}=\,\!$	$E_{2}=-5.45\times 10^{-19}\,{\text{J}}\,\!$
$E_{i}=\,\!$	$E_{3}=-2.42\times 10^{-19}\,{\text{J}}\,\!$
$\Delta E_{3\to 2}=\,\!$	$E_{2}-E_{3}\,\!$
$\Delta E_{i\to f}=\,\!$	$(-5.45\times 10^{-19}\,{\text{J}})-(-2.42\times 10^{-19}\,{\text{J}})\,\!$

請記住，減去一個負數就相當於加上一個正數！

$\Delta E_{i\to f}=\,\!$	$(-5.45\times 10^{-19}\,{\text{J}})+(2.42\times 10^{-19}\,{\text{J}})\,\!$
$\Delta E_{i\to f}=\,\!$	$-3.03\times 10^{-19}\,{\text{J}}\,\!$

當電子從較高能級軌道躍遷到較低能級軌道時，所有損失的能量都轉化為光能。因此，當電子從氫原子的第三能級軌道躍遷到第二能級軌道時，它會發出能量為 3.03×10⁻¹⁹ J 的光束。現在你應該能夠將這種能量轉化為波長（首先將能量轉化為頻率，然後將頻率轉化為波長）。計算結果表明波長為 656 奈米。更令人驚奇的是，如果你觀察下面所示的氫原子光譜，你會發現氫原子在 656 奈米處確實有一條紅色的光譜線！ 此外，氫原子光譜中綠色的 486 奈米譜線對應於電子從氫原子的第四能級軌道躍遷到第二能級軌道，藍色的 434 奈米譜線對應於電子從氫原子的第五能級軌道躍遷到第二能級軌道，紫色的 410 奈米譜線對應於電子從氫原子的第六能級軌道躍遷到第二能級軌道。換句話說，玻爾的模型可以用來預測氫原子光譜中四條可見光譜線的精確波長。

關於原子光譜的簡短討論以及你所選元素光譜的動畫演示，以及電子在吸收和發射光的過程中改變軌道軌跡的動畫演示，請檢視 光譜線。

那麼其他可能發生的氫原子軌道之間的躍遷呢？例如，對應於電子從第四軌道躍遷到第三軌道的譜線在哪裡呢？事實證明，所有其他躍遷的能量都無法包含在可見光譜範圍內。因此，即使這些躍遷發生，你的眼睛也無法看到由此產生的光。 顯然，玻爾的模型的預測與氫原子光譜的比較結果完全吻合。 只有一個小的問題……

玻爾的模型只適用於氫原子

如果你看一下元素週期表，你會發現氫是一個非常特殊的元素。氫是第一個元素，因此它只有一個電子。事實證明，只要用來描述只有一個電子的原子，玻爾的原子模型就非常有效。 一旦玻爾的模型應用於具有多個電子的元素（不幸的是，這包括氫以外的所有元素），玻爾的模型就會慘敗。

玻爾的模型失敗了，因為它用經典物理學的規律來處理電子。不幸的是，這些規律只適用於相當大的物體。在玻爾發展他的模型的時候，科學家們才開始意識到，經典物理學的規律不適用於像電子那樣小的物質。電子實際上是量子物體，這意味著它們只能用量子物理學的規律來描述。當兩個或多個量子物體相互作用時，經典物理學和量子物理學之間的許多差異變得尤為重要。因此，雖然玻爾的模型適用於氫原子，但它在預測具有更多電子的原子的原子光譜方面的效果越來越差。即使是具有兩個電子的氦原子也是一個災難！

玻爾的模型解釋了氫原子的發射光譜，而以前對此沒有解釋。電子雲中電子精確能級的發明以及電子透過從一個能級躍遷到另一個能級來獲得和損失能量的能力，為原子如何能夠發射精確的光頻率提供瞭解釋。玻爾計算了氫原子能級的能量，這些能量產生了在氫光譜中發現的精確頻率。 此外，這些相同的能級預測氫原子還將在紅外和紫外區域發射光頻率，而以前沒有人觀察到過這些頻率。後來發現這些精確的紅外和紫外光頻率存在於氫光譜中，為玻爾模型中的思想提供了更大的支援。

玻爾理論的一個問題是，人們已經知道電子加速時會發射無線電波。當你學習物理學時，你會了解到加速度適用於加速、減速和在彎曲的路徑中運動。當帶電粒子加速時，它們會發射無線電波。事實上，這就是我們如何產生無線電訊號的——透過迫使電子在一個天線中上下加速。自 1895 年以來，科學家們一直用這種方法產生無線電訊號。由於玻爾的電子理論上是在原子核周圍以圓形路徑運動，因此它們必須發射無線電波，因此會失去能量並塌縮到原子核中。由於原子電子雲中的電子沒有發射無線電波、失去能量並塌縮到原子核中，因此人們立即對電子是否可以圍繞原子核以彎曲的路徑運動產生了懷疑。玻爾試圖透過提出電子雲包含一定數量的能級、每個能級只能容納一個電子，以及在基態下，所有電子都處於最低可用能級來解決這個問題。在這種情況下，電子無法失去能量，因為沒有更低的能級可用。電子可以獲得能量並躍遷到更高的能級，然後落回現在空閒的能級，從而釋放能量，但一旦處於基態，就沒有更低的能級可以進入。這解釋了為什麼圍繞原子核運動的電子不會發射能量並螺旋進入原子核。然而，玻爾沒有解釋為什麼只有他計算出的確切能級存在，也就是說，電子雲中的電子是什麼導致了只有特定的一組能級。

玻爾模型的另一個問題是預測的電子在電子雲中的位置。如果玻爾模型是正確的，那麼氫原子在基態下的電子將始終與原子核保持相同的距離。如果我們能夠對氫電子雲進行一系列快照，從而凍結電子的位置，以便我們能夠看到它在不同時間的精確位置，我們仍然不知道電子從一個地方到另一個地方所走的路徑，但我們可以看到電子的幾個位置。這樣的電子位置影像將表明電子實際上可以與原子核保持不同的距離，而不是保持恆定距離。

如果電子像玻爾模型所建議的那樣繞原子核運動，那麼電子位置將始終與原子核保持相同的距離，如圖 5.17 部分 A 所示。然而，實際上，電子被發現與原子核保持許多不同的距離，如圖 5.17 部分 B 所示。為了解決所有這些差異，科學家需要一種全新的方法來觀察能量以及物質本身。

圖 5.17：電子不是與原子核保持恆定距離。

玻爾原子模型的發展是科學方法的一個很好的例子。它表明了原子光譜的觀察如何導致對物質性質的假設的發明，以解釋這些觀察結果。該假設還對應該存在於紅外和紫外區域的光譜線做出了預測，當發現這些觀察結果是正確的時候，它為該理論提供了更多支援證據。當然，進一步的觀察也可能提供矛盾的證據，導致該理論的崩潰，玻爾模型也經歷了這種過程。然而，玻爾模型並不是一個失敗。它提供了洞察力，使我們對原子的概念的下一步發展成為可能。

玻爾模型不可接受

您剛剛看到玻爾模型將經典物理學應用於電子，而電子只能用量子力學來描述。此外，事實證明，玻爾對電子作為圍繞原子核沿固定軌道運動的微小物體描述也是不正確的。玻爾描繪的原子看起來非常像一個小型太陽系。原子中心的原子核就像太陽系中心的太陽，而圍繞原子核運動的電子就像圍繞太陽運動的行星。然而，在量子力學中，電子被認為更像雲而不是行星。電子不像“圍繞”原子核被限制在軌道上，而是似乎同時出現在各個地方，就像霧一樣。

玻爾模型對氫原子起作用的事實實際上非常了不起！當然，玻爾虛構的“太陽系原子”並非隨機猜測。玻爾實際上已經對原子內部可能發生的事情進行了相當多的思考，他的工作標誌著朝著理解電子在原子中所處位置邁出的第一步。因此，儘管玻爾模型並不完全正確，但尼爾斯·玻爾因其理論在 1922 年獲得了諾貝爾獎。事實證明，對原子和原子光譜的完整描述需要了解量子物理學。量子物理學描述了一個奇怪的世界，它遵循僅適用於非常非常小的物體（如電子）的規則。在玻爾發展他的原子模型時，科學家們從未聽說過量子物理學。事實上，20 世紀初的大多數科學家認為，一切都可以用經典物理學來描述。即使在今天，科學家們仍然沒有完全理解量子物理學和量子物理學所描述的世界。

課程總結

• 尼爾斯·玻爾提出，原子中的電子被限制在特定的軌道上，並且在原子核周圍有固定的邊界。
• 玻爾認為，處於特定軌道上的電子具有恆定的能量，因此他將這些軌道命名為能級。
• 當電子獲得能量（來自電流或電火花）時，它可以使用這種能量從較低能量軌道（靠近原子核）躍遷到較高能量軌道（遠離原子核）。
• 當電子從較高能量軌道（遠離原子核）躍遷到較低能量軌道（靠近原子核）時，它會以光的形式釋放能量。
• 白色本身並不是一種顏色，而是當所有其他顏色的光混合在一起時產生的結果。
• 在玻爾模型中，電子只能存在於特定的軌道上，因此只能具有特定的能量。因此，我們說電子的能量是量子化的。
• 玻爾使用公式$E_{n}={\tfrac {-Rhc}{n^{2}}}$來預測氫原子第n能級（或軌道）中電子的能級。
• 由於根據玻爾模型，電子只允許存在於特定的能級上，因此當電子從一個能級躍遷到另一個能級時，只能釋放出幾種可能的光能量。因此，玻爾模型解釋了為什麼原子光譜是不連續的。
• 玻爾模型成功地預測了氫原子光譜中的四條彩色線，但它在應用於任何包含多個電子的原子時都慘敗。這是由於經典物理學定律和量子物理學定律之間的差異。
• 玻爾模型不再被接受為原子的有效模型。

複習題

1. 判斷以下每個陳述是真還是假。

   (a) 尼爾斯·玻爾提出，原子中的電子被限制在特定的軌道上，因此只能具有特定的能量。

   (b) 玻爾的原子模型可以用來準確預測氫原子的發射光譜。

   (c) 玻爾的原子模型可以用來準確預測氖原子的發射光譜。

   (d) 根據玻爾模型，電子的能量或多或少取決於它們在軌道上運動了多少圈。

2. 根據玻爾模型，原子中的電子只能具有特定的允許能量。因此，我們說這些電子的能量是_______。
3. 玻爾模型可以準確預測具有以下特徵的原子的發射光譜…

   (a) 少於 1 個電子。

   (b) 少於 2 個電子。

   (c) 少於 3 個電子。

   (d) 少於 4 個電子。

4. 考慮 He⁺ 原子。與氫原子一樣，He+ 原子只包含 1 個電子，因此可以用玻爾模型來描述。請填空以下陳述。

   (a) 電子從 He⁺ 的n = 2 軌道躍遷到 He⁺ 的n = 1 軌道釋放的能量______於電子從 He⁺ 的n = 3 軌道躍遷到 He⁺ 的n = 1 軌道釋放的能量。

   (b) 電子從 He⁺ 的n = 2 軌道躍遷到 He⁺ 的n = 1 軌道產生的光的波長______於電子從 He⁺ 的n = 3 軌道躍遷到 He⁺ 的n = 1 軌道產生的光的波長。

   (c) 電子從 He⁺ 的n = 2 軌道躍遷到 He⁺ 的n = 1 軌道產生的光的頻率______於電子從 He⁺ 的n = 3 軌道躍遷到 He⁺ 的n = 1 軌道產生的光的頻率。

5. 根據玻爾模型，較高能量的軌道位於（靠近/遠離）原子核。這說得通，因為負電子被（吸引/排斥）原子核中的正質子，這意味著將電子移開（遠離/靠近）原子核需要能量。
6. 根據玻爾模型，氫原子第一個玻爾軌道中電子的能量是多少？
7. 根據玻爾模型，氫原子第十個玻爾軌道中電子的能量是多少？
8. 根據玻爾模型，氫原子第七電子層中的電子能量是多少？
9. 如果氫原子中的電子能量為 −6.06×10⁻²⁰ J，它處於哪個玻爾電子層？
10. 如果氫原子中的電子能量為 −2.69×10⁻²⁰ J，它處於哪個玻爾電子層？
11. 如果氫原子中的電子從第五玻爾電子層躍遷到第三玻爾電子層，會釋放多少能量（可以將能量表示為正數）？
12. 如果氫原子中的電子從第六玻爾電子層躍遷到第三玻爾電子層，會發射什麼波長的光？這種光屬於可見光範圍嗎？

詞彙

玻爾能級

根據玻爾原子模型，電子繞原子核運動的軌道（或圓形路徑）所對應的特定能量。

玻爾原子模型

玻爾對元素在受到電流衝擊時產生不連續原子光譜的解釋。根據該模型，電子被限制在原子核周圍的特定軌道上，就像太陽系一樣。

經典物理學

描述大型物體相互作用的物理定律。

量子力學

描述極小（原子或亞原子）物體相互作用的物理定律。也稱為“波動力學”和“量子物理學”。

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