高中物理/拋射運動

在忽略阻力和風的情況下，均勻重力的情況會導致拋射運動軌跡，這是一個拋物線。為了模擬這種情況，可以選擇 $V=mgz$ ，其中 $g$ （gee）是所謂的重力加速度。

相對於平坦的地形，設初始水平速度為 $v_{h}$ ，初始垂直速度為 $v_{v}$ 。將證明，射程為 $2v_{h}v_{v}/g$ ，最大高度為 ${v_{v}^{2}}/2g$ 。對於給定的總初始速度 $v$ ，當 $v_{h}=v_{v}$ 時，即初始角度為 45 度時，可獲得最大射程。此射程為 $v^{2}/g$ ，最大射程時的最大高度是它的四分之一。

推導

運動方程可用於計算軌跡的特性。

讓

t\;

為拋射體飛行的時間

d_{h}(t)\;

為時間 t 時的水平位移

d_{v}(t)=z\;

為時間 t 時的垂直位移

v_{h}\;

為水平速度（保持不變）

v_{v}\;

為向上初始垂直速度

v\;

為初始速度

v_{v}(t)\;

為時間 t 時的垂直速度

沿著水平方向， $v_{h}$ 是一個常數，因此根據運動方程，

d_{h}(t)=v_{h}t\;

（公式 1）

垂直距離，或者說是高度，遵循著恆定負加速度 $g$ 的運動方程

d_{v}=v_{v}t-{{gt^{2}} \over 2}

（公式 2）

v_{v}={\frac {d}{dt}}d_{v}(t)=v_{v}-gt

（公式 3：速度方程，是公式 2 的導數）

當 $d_{v}(t)$ 再次為零並與地面相交時，就會發生拋射體的射程。當公式 2 中的 $d_{v}$ 為零時，就會發生這種情況。

0=v_{v}t-{{gt^{2}} \over 2}

求解時間 $t$ 可得到拋射體飛行的時間。

t={2v_{v} \over g}

（公式 4：拋射體的“懸空時間”）

當公式 4 代入公式 1 時，最大射程就會出現。

d_{h}(t)={v_{h}t}={v_{h}({2v_{v} \over g})}={{2v_{h}v_{v}} \over g}

（公式 5：拋射體的射程）

在給定的軌跡中，最大高度出現在垂直速度為零時。因此將公式 3 設定為零。

0=v_{v}-gt\;

求解 $t$

t={{v_{v}} \over g}

這可以代入公式 2 得到最大高度。

d_{v}(max)=v_{v}({v_{v} \over g})-{\frac {1}{2}}g({v_{v} \over g})^{2}={{v_{v}}^{2} \over 2g}

（公式 6：拋射體的最大高度）

因此，毫不奇怪，對於給定的初始速度，如果初始速度是直線向上，則達到的高度最高。這個高度是射程最大時達到高度的兩倍。

極座標系中的推導

就仰角而言 $\theta$ 和初始速度 $v$

v={\sqrt {{v_{h}}^{2}+{v_{v}}^{2}}}

v_{h}=v\cos \theta \;

v_{v}=v\sin \theta \;

將公式代入公式1得出

d_{h}=v_{h}t=vt\cos \theta \;

(公式1a)

將公式代入公式2得出

d_{v}=v_{v}t-{{gt^{2}} \over 2}=(v\sin \theta )t-{{gt^{2}} \over 2}

(公式2a)

取導數得到垂直速度

v_{v}={\frac {d}{dt}}d_{v}={\frac {d}{dt}}(v\sin \theta )t-{{gt^{2}} \over 2}=v\sin \theta -gt

(公式3a: 垂直速度)

以上公式4中計算的滯空時間可以用仰角表示

t={2v_{v} \over g}={{2v\sin \theta } \over g}

(公式4a)

公式4a可以代入公式1a，得到水平距離或射程

d_{h}=v_{h}t={vt\cos \theta }=v({{2v\sin \theta } \over g})\cos \theta ={{2v^{2}\sin \theta \cos \theta } \over g}

現在使用三角恆等式對於 $2\sin \theta \cos \theta =sin2\theta$

d_{h}={{v^{2}\sin 2\theta } \over g}

(公式5a: 拋射體的射程)

可以解出角度 $\theta$ 得到命中距離為 $d_{h}$ 目標的“角度”方程

{\theta }={\frac {1}{2}}\sin ^{-1}({{gd_{h}} \over {v^{2}}})

(公式7: 拋射體發射角)

請注意，正弦函式是這樣的，對於給定的範圍 $d_{h}$ ， $\theta$ 存在兩個解。在物理上，這對應於直接射擊和迫擊炮射擊，迫擊炮射擊需要向上和越過障礙物到達目標。

對於給定的射程，最大高度可以透過在公式 3a 中將垂直速度設定為零並解出 $t$ 來確定。

0=v\sin \theta -gt\;

t={\frac {v\sin \theta }{g}}

（重新排列並解出

t

）

現在將它代入垂直高度方程 2a

d_{v}=(v\sin \theta )t-{\frac {gt^{2}}{2}}=(v\sin \theta )({\frac {v\sin \theta }{g}})-{\frac {g({\frac {v\sin \theta }{g}})^{2}}{2}}={\frac {v^{2}{\sin }^{2}\theta }{g}}-{\frac {v^{2}{\sin }^{2}\theta }{2g}}={\frac {v^{2}{\sin }^{2}\theta }{2g}}

（公式 6a：給定發射角度的最大高度）

最大射程

根據上述射程和高度方程，可以確定最大射程和高度。可以透過將公式 5 和 5a 的導數設定為零來確定最大射程。對於公式 5，彈丸的射程是 $v_{h}$ 和 $v_{v}$ 的函式，使得 $v_{v}^{2}+v_{h}^{2}=v^{2}$ ，其中 v 是總初始速度，是一個常數。因此，射程可以表示為 $v_{v}$ 的函式，方法是解出 $v_{h}$ 。

v_{h}={\sqrt {v^{2}-v_{v}^{2}}}

（公式 8）

並將 $v_{h}$ 代入公式 5

d_{h}={{2v_{h}v_{v}} \over g}={{2v_{v}{\sqrt {v^{2}-v_{v}^{2}}}} \over g}

最大 $d_{h}$ 可以透過計算導數並將其設為零來確定。導數的計算方法如下：

{\frac {d}{dv_{v}}}d_{h}={1 \over g}{\frac {d}{dv_{v}}}{2v_{v}{\sqrt {v^{2}-v_{v}^{2}}}}

={1 \over g}(2{\sqrt {v^{2}-{v_{v}}^{2}}}+2v_{v}{\frac {d}{dv_{v}}}{\sqrt {v^{2}-v_{v}^{2}}}

（應用乘積法則）

={1 \over g}(2{\sqrt {v^{2}-{v_{v}}^{2}}}+2v_{v}{\frac {d{\sqrt {v^{2}-v_{v}^{2}}}}{d{v_{v}}^{2}}}{\frac {d{v_{v}}^{2}}{dv_{v}}})

（應用鏈式法則）

={1 \over g}(2{\sqrt {v^{2}-{v_{v}}^{2}}}+2v_{v}({\frac {-1}{2{\sqrt {v^{2}-{v_{v}}^{2}}}}})2v_{v})

（求導平方根）

={1 \over g}(2{\sqrt {v^{2}-{v_{v}}^{2}}}-{\frac {2{v_{v}}^{2}}{\sqrt {v^{2}-{v_{v}}^{2}}}})

（簡化第二項）

設為零並求解 $v$

0={1 \over g}(2{\sqrt {v^{2}-{v_{v}}^{2}}}-{\frac {2{v_{v}}^{2}}{\sqrt {v^{2}-{v_{v}}^{2}}}})

{\sqrt {v^{2}-{v_{v}}^{2}}}={\frac {{v_{v}}^{2}}{\sqrt {v^{2}-{v_{v}}^{2}}}}

v^{2}-{v_{v}}^{2}=v_{v}^{2}

v^{2}=2v_{v}^{2}

(公式 9)

因此，當 $v^{2}$ 為 $2v_{v}^{2}$ 時，射程最大，將其代入公式 8。

v_{h}={\sqrt {v^{2}-v_{v}^{2}}}={\sqrt {v^{2}-v_{v}^{2}}}={\sqrt {2v_{v}^{2}-v_{v}^{2}}}=v_{v}

因此，當 $v_{h}=v_{v}$ 時，射程最大。

現在，將 $v_{h}=v_{v}$ 和公式 9 代入公式 5，可以計算出實際的最大射程。

d_{h}={{2v_{h}v_{v}} \over g}={{2v_{v}v_{v}} \over g}={{2v_{v}^{2}} \over g}={v^{2} \over g}

極座標系中的最大射程

從公式 5a 開始，也可以得出相同的結論。

{\frac {d}{d\theta }}d_{h}={\frac {d}{d\theta }}{{v^{2}\sin 2\theta } \over g}

={\frac {v^{2}}{g}}{\frac {d}{d2\theta }}\sin 2\theta {\frac {d2\theta }{d\theta }}

（應用鏈式法則）

={\frac {v^{2}}{g}}(\cos 2\theta )2\quad

將方程設為零並求解 $\theta$

0={\frac {v^{2}}{g}}(\cos 2\theta )2

0=\cos 2\theta \quad

現在餘弦在 $\pi \over 2$ 處為零

2\theta ={\frac {\pi }{2}}

（從公式 5a 中也可以直接得出，它給出了正弦的最大可能值 1）

{\theta }_{\max }={\frac {\pi }{4}}

弧度

因此，當角度為 45 度時，射程最大。

現在，可以透過將 45 度代入公式 5a 來計算實際的最大射程

d_{h}={{v^{2}\sin 2\theta } \over g}={{v^{2}\sin 2({\frac {\pi }{4}})} \over g}={v^{2} \over g}

最大射程時的最大高度

公式 6 和 6a 可用於計算最大射程時的最大高度。將公式 9 代入公式 6

d_{v}={\frac {v_{v}^{2}}{2g}}={\frac {({\frac {v^{2}}{2}})}{2g}}={\frac {v^{2}}{4g}}

同樣地，可以將 45 度代入公式 6a

d_{v}={\frac {v^{2}{\sin }^{2}\theta }{2g}}={\frac {v^{2}({\frac {1}{\sqrt {2}}})^{2}}{2g}}={\frac {v^{2}}{4g}}

作為拋物線

方程 1 和 2 是描述拋物線的引數方程。透過對方程 1 求解 $t$ 並代入方程 2，可以將它們重新排列成更常見的二次形式。

t={\frac {d_{h}}{v_{h}}}

（對方程 1 求解

t

）

將此代入方程 2

d_{v}=v_{v}t-{\frac {gt^{2}}{2}}=v_{v}({\frac {d_{h}}{v_{h}}})-{\frac {g({\frac {d_{h}}{v_{h}}})^{2}}{2}}=-{\frac {g}{2{v_{h}}^{2}}}(d_{h})^{2}+{\frac {v_{v}}{v_{h}}}(d_{h})

現在它採用以下形式

y=ax^{2}+bx+c\quad

其中

y=d_{v},x=d_{h},a=-g/{2{v_{h}}^{2}},b=v_{v}/v_{h},c=0

.

這表示拋物線的形式，因此軌跡為拋物線。

同樣，方程 1a 和 2a 可以重新排列成二次形式。方程 1a 可以重新排列成

t={\frac {d_{h}}{v\cos \theta }}

並將此代入方程 2a

d_{v}=vt\sin \theta -{\frac {gt^{2}}{2}}=v\sin \theta {\frac {d_{h}}{v\cos \theta }}-{\frac {g{({\frac {d_{h}}{v\cos \theta }})}^{2}}{2}}

現在 $\tan \theta =\sin \theta /\cos \theta$ ，因此

d_{v}=-{\frac {g}{2v^{2}{\cos }^{2}\theta }}d_{h}^{2}+d_{h}\tan \theta

（方程 10）

現在，它再次以 $y=ax^{2}+bx+c$ 的形式出現，其中 $y=d_{v}\,$ ， $x=d_{h}\,$ ， $a=-g/{2v^{2}{\cos }^{2}\theta }\,$ ， $b=\sin \theta /\cos \theta$ 以及 $c=0\,$ ，證明了這是一個拋物線。