同調代數/阿貝爾範疇

定義 ($Ab$-富集範疇):

一個$Ab$-富集範疇是一個範疇${\mathcal {C}}$，使得

1. $\forall a,b\in \operatorname {Obj} ({\mathcal {C}})$，${\mathcal {C}}(a,b)$ 是一個阿貝爾群。
2. $\forall a,b,c\in \operatorname {Obj} ({\mathcal {C}})$，$\circ _{a,b,c}:{\mathcal {C}}(b,c)\times {\mathcal {C}}(a,b)\to {\mathcal {C}}(a,c)$ 是雙線性的。

定義（零物件）:

一個零物件是在一個$Ab$-富集範疇中的物件，它既是初始物件，也是終結物件。我們通常用$\mathbf {0}$ 表示它。

定義（雙積）:

給定一個$Ab$-富集範疇${\mathcal {C}}$，$a,b\in \operatorname {Obj} ({\mathcal {C}})$ 的雙積是一個元組$(c,i_{1}:a\to c,p_{1}:c\to a,i_{2}:b\to c,p_{2}:c\to b)$，使得

1. $p_{1}\circ i_{1}=1_{a}.$
2. $p_{2}\circ i_{1}=0_{a,b}.$
3. $p_{1}\circ i_{2}=0_{b,a}.$
4. $p_{2}\circ i_{2}=1_{b}.$
5. $i_{1}\circ p_{1}+i_{2}\circ p_{2}=1_{c}.$

我們通常用 $a\oplus b$ 表示 $c$.

定義（加法範疇）:

一個加法範疇是 $Ab$-富集範疇 ${\mathcal {C}}$，使得

1. 在 ${\mathcal {C}}$ 中存在零乘積。
2. 對於每個 $a,b\in \operatorname {Obj} ({\mathcal {C}})$，都有一個雙積。

定義（（共）核）:

在 $Ab$-富集範疇中，給定 $f:a\to b$。$f$ 的（共）核是 $f$ 和 $0_{a,b}$ 的（共）均衡器。

定義（阿貝爾範疇）:

一個阿貝爾範疇是一個加法範疇，其中

1. 每個態射都有一個核和一個餘核。
2. 每個單態射都是一個核，每個滿態射都是一個餘核。

例子:

環 $R$ 的所有左 $R$-模的範疇是一個阿貝爾範疇。

練習

1. 在 $Ab$-富集範疇中，給定一個有零物件的 $f:a\to b$。證明 $f=0_{a,b}$ 當且僅當 $f$ 透過 $\mathbf {0}$ 因子分解。

1. 給定一個 $(a\oplus b,i_{1},p_{1},i_{2},p_{2})$ 的 $a$ 和 $b$ 的雙積。證明 $(a\oplus b,i_{1},i_{2})$ 是 $a$ 和 $b$ 的餘積，並且 $(a\oplus b,p_{1},p_{2})$ 是 $a$ 和 $b$ 的積。

1. 在一個具有零物件的 $Ab$ 富集範疇中， $f:a\to b$ 的核可以等價地表徵為 $\mathbf {0} \to b$ 沿著 $f$ 的拉回。