數列與級數

數字模式

數學中一項重要的技能是能夠

• 識別數字集中的模式，
• 描述模式的文字，以及
• 繼續模式

一個數字列表，其中有一個模式，稱為數字序列。序列的成員（數字）被稱為它的項。

例子

$3,7,11,15,\ldots$

以上是一種數字序列。第一項是$3$，第二項是$7$，等等。序列的規則是“序列從 3 開始，每一項比前一項多 4。”

等差數列

等差數列是一個序列，其中每一項都比前一項多一個固定的數

$2,5,8,11,14,\ldots$是等差的，因為$5-2=8-5=11-8=14-11$等等

代數定義

在等差數列中，$n$項定義如下

$a_{n}=a_{1}+(n-1)d$

其中$d$定義為

$d=a_{n+1}-a_{n}$

此處，符號如下

$a_{1}$是序列的第一項。

$n$是序列的項數。

$d$ 是算術數列中各項之間的公差。

例子

給定數列 $1,3,5,7,\ldots ,n$，符號的值如下

${\begin{aligned}d&=a_{n+1}-a_{n}\\d&=a_{2}-a_{1}=3-1\\d&=2\end{aligned}}$

以及

$a_{1}=1$

因此

${\begin{aligned}a_{n}&=a_{1}+(n-1)d\\a_{n}&=1+(n-1)2\\a_{n}&=1+2n-2\\a_{n}&=2n-1\end{aligned}}$

因此我們可以確定數列中的任何值

$a_{5}=2(5)-1=10-1=9$

算術級數

算術級數是算術數列中連續項的加和。

$21+23+27+\cdots +49$

算術級數的和

回想一下，如果首項為 $a_{1}$ 且公差為 $d$，則這些項為

$a_{1},a_{1}+d,a_{1}+2d,a_{1}+3d,\ldots$

假設 $a_{n}$ 是算術級數的最後一項。則，其中 $S_{n}$ 是算術級數的和

${\begin{matrix}&S_{n}&=&a_{1}&+&(a_{1}+d)&+&(a_{1}+2d)&+&\cdots &+&(a_{n}-2d)&+&(a_{n}-d)&+&a_{n}\\+\\&S_{n}&=&a_{n}&+&(a_{n}-d)&+&(a_{n}-2d)&+&\cdots &+&(a_{1}+2d)&+&(a_{1}+d)&+&a_{1}\\\hline \\&2S_{n}&=&(a_{1}+a_{n})&+&(a_{1}+a_{n})&+&(a_{1}+a_{n})&+&\cdots &+&(a_{1}+a_{n})&+&(a_{1}+a_{n})&+&(a_{1}+a_{n})\end{matrix}}$

可以看出，實際上有 $n$ 個完全相同的項，因此

${\begin{matrix}2S_{n}=n(a_{1}+a_{n})\\S_{n}={\dfrac {n(a_{1}+a_{n})}{2}}\end{matrix}}$

等比數列

如果一個數列的每一項都是前一項乘以同一個非零常數所得，那麼這個數列就稱為*等比數列*。

$2,10,50,250,\ldots$ 是一個等比數列，因為 $2\times 5=10$ 以及 $10\times 5=50$ 以及 $50\times 5=250$ 。

注意

${\frac {10}{2}}={\frac {50}{10}}={\frac {250}{50}}=5$

即，每一項除以前一項都是一個非零常數。

代數定義

$\{a_{n}\}$ 是等比數列$\iff {\frac {u_{n+1}}{u_{n}}}=r$ 對所有正整數 $n$ 都成立，其中 $r$ 是一個常數（公比）。

幾何平均數

如果 $a,b,c$ 是等比數列中的任何三個連續項，則

${\frac {a}{b}}={\frac {b}{c}}$ {等比數列的公比相等}

因此

$b^{2}=ac$ 因此 $b=\pm {\sqrt {ac}}$ 其中 ${\sqrt {ac}}$ 是 $a,c$ 的幾何平均數。

通項公式

假設等比數列的首項為 $a_{1}$，公比為 $r$。

則 $a_{2}=a_{1}r$ 因此 $a_{3}=a_{1}r^{2}$ 等等。

所以 $a_{n}=a_{1}r^{n-1}$

$a_{1}$是序列的第一項。

$n$ 是通項。

$r$ 是等比數列中相鄰項之間的公比。

複利

複利是指在原始投資基礎上產生的利息。利息被 _新增_ 到本金中。因此，每次時間段投資都會大幅增長。

考慮以下情況：

你將 $1000 投資到銀行。你將錢留在銀行 3 年。你每年獲得 10% 的利率。利息每年都會新增到你的投資中。

每年支付 10% 的利率，_增加_ 你的投資價值。

你每年增加的百分比是 10%，即

$100\%+10\%=110\%$

因此，當年年初價值的 110%，對應於 _乘數_ 1.1。

一年後，你的投資價值為

$1000\$\times 1.1=1100\$$

兩年後，它價值為	三年後，它價值為
$1100\$\times 1.1$	$1210\$\times 1.1$
$=1000\$\times 1.1\times 1.1$	$=1000\$\times (1.1)^{2}\times 1.1$
$=1000\$\times (1.1)^{2}$	$=1000\$\times (1.1)^{3}$
$=1210\$$	$=1331\$$

注意

$a_{1}=1000\$$	初始投資
$a_{2}=a_{1}\times 1.1$	兩年後的金額
$a_{3}=a_{1}\times (1.1)^{2}$	三年後的金額
$a_{4}=a_{1}\times (1.1)^{3}$	四年後的金額
$\vdots$
$a_{n+1}=a_{1}\times (1.1)^{n}$	經過 $n$ 年後的金額

一般來說，$a_{n+1}=a_{1}r^{n}$用於複利增長，其中

$a_{1}$ 是初始投資

$r$ 是增長倍數

$n$ 是年數

$a_{n+1}$ 是經過 $n$ 年後的金額