IB 數學（HL）/群論

此選項的目的是提供學習一些重要數學概念的機會，並透過抽象代數介紹證明原理。對於本主題，您不需要任何核心主題的背景知識。

樸素集合論

集合可以作為構建所有其他數學的基礎。這被稱為公理集合論。但公理集合論是一個非常正式的理論，對於日常數學使用來說過於繁瑣。另一方面，集合是一個過於有用的數學結構，不適合只留給研究數學基礎的專家。樸素集合論是指在不正式定義集合的情況下使用集合框架。這正是我們將要做的。

集合被（非正式地）定義為任何事物的集合

例如：原色的集合，我的兄弟姐妹的集合，正整數的集合。

一些集合可以透過列出其中的事物來描述

我們用逗號分隔事物，並使用花括號來表示它們屬於一個集合。

例如：{紅色，黃色，藍色}，{唐娜，琳達，鮑比，朱莉，史蒂夫}

如果我們可以完全列出（列舉）集合中的所有事物，則該集合被稱為有限集合。原色的集合和我的兄弟姐妹的集合是有限集合。如果一個集合不是有限的，則被稱為無限集合。所有正整數的集合是一個無限集合。

一些集合可以透過列舉它們的規則來描述

正偶數的集合是無限的，因此我們無法列出它們。但是，我們可以將其寫成 {2, 4, 6, …}。 “…”表示有一個規則可以用來構建一個包含該集合中每個成員的列表，即使該列表無法在有限的時間內完成。

問題

1. 明確說明構建正偶數集合的規則。

一個有趣的旁白：一些無限集合如此“大”，以至於無法寫出構建所有成員列表的規則。實數集就是這樣一種集合。

一些常見的數學集合

以下是一些您熟悉的常見數學集合。您需要能夠識別這些符號。

$\mathbb {N}$

正整數的集合，$\{1,2,\ldots \}$

$\mathbb {Z}$

整數的集合

$\mathbb {Z} ^{+}$

正整數的集合，$\{1,2,3,\ldots \}$

$\mathbb {Q}$

有理數的集合

$\mathbb {Q} ^{+}$

正有理數的集合

$\mathbb {R}$

實數的集合

$\mathbb {R} ^{+}$

正實數集

$\mathbb {C}$

複數集

集合中的“東西”被稱為集合的元素

如果某個東西（比如“x”）屬於某個特定的集合（比如“S”），我們說“x是S的元素”。為了簡潔地表達，我們寫成

$x\in S$

數學家經常使用成員一詞作為元素的同義詞。例如，你會聽到類似“2是正整數集合的成員”這樣的說法。

集合相等的定義

如果S和T中所有元素相同，則兩個集合S和T相等。毫不奇怪，我們把它寫成

$S\mathbf {=} T$

以下是該定義的一些推論。

集合中元素的排列順序並不重要

集合{紅色，黃色，藍色}等於（即與）集合{黃色，藍色，紅色}相同。為什麼？看看相等性的定義。第一個集合中的每個元素都是第二個集合的元素，而第二個集合中的每個元素都是第一個集合的元素。所以這兩個集合相等。

某個東西要麼是集合的元素，要麼不是；多次列出它不會有任何區別

集合{紅色，紅色，黃色，藍色，紅色}與（即等於）集合{紅色，黃色，藍色}相同，即使“紅色”在第一個集合中被列出了多次。不要相信我的話；檢查一下相等性的定義。

子集的定義

如果我們把相等集合的定義分成兩個部分，會發生什麼？假設我們只要求S的每個元素也是T的元素，而不要求“反過來”？例如，集合{紅色，黃色，藍色}中的每個元素都在集合{紅色，橙色，黃色，綠色，藍色，紫色}中，但反過來則不然。這種事情經常發生，因此我們給它一個名字。如果S的每個元素也是T的元素，我們就說S是T的子集。為了簡潔地表達，我們寫成

$S\subseteq T$

毫不奇怪，我們也會為“反過來”的部分建立一個定義。也就是說，如果T的每個元素都是S的元素，我們就說S是T的超集。我們把它寫成

$S\supseteq T$

請注意，$\subseteq$ 和 $\supseteq$ 這些符號是為集合定義的，而 $\leq$ 和 $\geq$ 這些符號是為數字定義的。這不是偶然的。集合之間的子集關係與整數之間的小於或等於關係並不相同，但這兩個關係確實有很多相似之處。（你能想到多少個？）良好的數學符號通常會暗示這些相似之處。

問題

1) $\mathbb {N} \supseteq \mathbb {Z}$ 是否成立？$\mathbb {Z} \supseteq \mathbb {N}$ 是否成立？$\mathbb {Z} \subseteq \mathbb {Z} ^{+}$ 是否成立？$\mathbb {Z} \subseteq \mathbb {Z}$ 是否成立？

2) 如果集合 S、T 和 U 滿足

$S\subseteq T$

以及

$T\subseteq U$,

你能說明 S 和 U 之間的關係嗎？用 $\subseteq$ 的定義來證明你的結論。你還記得這個性質叫什麼嗎？

3) 將上面列出的常用數學集合中儘可能多的集合按子集順序排列，即

? $\subseteq$ ? $\subseteq$ ? $\subseteq$ …

子集、超集和相等之間的關係

回顧定義，我們發現對於兩個集合 $S$ 和 $T$，

$S\mathbf {=} T$

當且僅當

$S\subseteq T$ 和 $S\supseteq T$

同時成立。

問題

1) 對於實數，$\leq$ 和 $\geq$ 的類似語句是什麼？這個語句成立嗎？

2) 對於 $\mathbb {N}$ 中的 x 和 y， 要麼 x $\leq$ y 要麼 x $\geq$ y。對於集合來說，$\subseteq$ 和 $\supseteq$ 是否也適用？

“真”子集

有時候我們有 $S\subseteq T$， 我們想排除 $S\mathbf {=} T$ 的可能性。為此， 我們寫

$S\subset T$

即我們省略 $\subset$ 下面的橫線。用文字來說，我們稱 S 是 T 的真子集。這裡使用“真”這個詞有點滑稽。它並不意味著存在更準確或更禮貌的表達方式，只是數學家用來避免說“S 是 T 的子集，但它不等於 T”的術語。類似地，

$S\supset T$

讀作“S 是 T 的真超集”，是寫

$S\supseteq T$ 和 $S\neq T$ 的簡短寫法。

問題

1. 對於任意集合 S，以下哪些是正確的？

$S\subseteq S$

$S\subset S$

$S\mathbf {=} S$

$S\supseteq S$

$S\supset S$

2. 假設 S = {2, 4, 6}。對於以下每個集合 T，列出 S 和 T 之間的所有關係。

T = {6, 4, 2}

T = {2, 4, 4}

T = {2, 6, 10}

T = {2, 4, 6, 10}

T = {1, 3, 5}

可能的最小集合

是否存在一個集合 X 是所有可能集合 S 的子集？是的。我們可以有一個沒有任何元素的集合。子集的定義說，如果 X 的每個元素也是 S 的元素，那麼 X 就是 S 的子集。如果 X 沒有元素，那麼無論 S 包含哪些元素，這個說法都是正確的。

我們稱不包含任何元素的集合為空集。有時它被寫成

{ }

但更常見的是，我們把它寫成

$\emptyset$

再次注意，集合 $\emptyset$ 和數字 0 的表示符號之間的相似性。就像對於任何自然數 n，$0\leq n$，對於任何集合 S，$\emptyset \subseteq S$。

組合集合：並集和交集

到目前為止，我們已經根據成員關係定義了集合對上的各種關係 $(=,\subset ,\subseteq ,$等)。同樣，定義操作，接受兩個集合並形成第三個集合也是有用的。我們再次將這些操作定義為成員關係。

首先定義兩個集合 S 和 T 的 **交集** 為包含任何元素的集合，這些元素既是 S 的元素，又是 T 的元素。我們將交集操作寫為

$S\cap T$

類似地，我們將定義兩個集合 S 和 T 的 **並集** 為包含任何元素的集合，這些元素是 S 的元素或 T 的元素。我們將並集操作寫為

$S\cup T$

如果您難以區分 $\cap$ 和 $\cup$，請記住 $\cup$ 看起來像 U，代表 Union（並集）。

問題

1. 如果 S = {1, 2, 3} 且 T = {2, 3, 4}，則 $S\cap T$ 等於多少？$S\cup T$ 等於多少？

2. 對於 **任何** 集合 S 和 T，以下陳述是否為真？

$S=(S\cap S)$

$S\subseteq (S\cup S)$

$S\subseteq (S\cup T)$

$S\subset (S\cap T)$

$S\supset (S\cup T)$

如果是這樣，請解釋原因。如果不是，請給出反例。

文氏圖

在做數學時，畫圖來幫助視覺化問題通常很有用。對於基本的集合運算，有一種傳統的畫圖方法稱為文氏圖，以英國數學家約翰·文恩的名字命名。要畫出一個集合 S，我們只需畫一個圓圈，並將集合的名稱寫在圓圈內。

這種圖的意圖是，圓圈的內部代表集合 S 中的所有元素。圓圈的外部代表所有不在集合 S 中的元素。我們使用圓圈作為文氏圖沒有特殊意義。我們也可以畫

或 File:Trivial Pentagonal Venn Diagram

現在，要表示兩個集合上的操作，我們畫兩個重疊的圓圈，如下所示

File:Simple Venn Diagram

如果您有彩色鉛筆，您可以用紅色塗 S 的內部，用藍色塗 T 的內部，如下所示

File:Colored Simple Venn Diagram

現在，我們可以描述所有著色的區域。圓圈之間紫色的重疊部分代表 。如果您沒有彩色鉛筆，可以畫出圓圈並陰影您要描述的區域。例如，您可以畫出類似以下內容：

表示。為了表示，您只需要將兩個圓的重疊部分塗上陰影。(我應該演示一下，但我用來編寫此內容的文字處理器無法輕鬆做到這一點。)如果我們從未組合超過兩個集合，那麼韋恩圖就沒有足夠的有用性，值得我們去學習。但當我們想要說明三個集合之間的關係時，它們就非常有用。在這種情況下，我們繪製三個重疊的圓，如下所示

問題：透過為 S、T 和 U 繪製 3 個重疊的圓，然後只對描述的區域進行陰影，來說明以下集合運算

一旦我們獲得超過三個集合，韋恩圖就不那麼有用了。問題是我們無法簡單地繪製四個圓來顯示所有可能的交集組合。因此，韋恩圖主要是一個入門學習工具。問題：繪製一個韋恩圖（不限於圓形），它描述了四個集合之間所有可能的交集組合。你能做到最好的是什麼？

集合補集（第一次嘗試）

對於集合，我們想要定義另一個運算——補集。這個運算是一種一元運算，意味著它只接受一個集合作為引數。（交集和並集被稱為二元運算，因為它們接受兩個集合作為引數。）集合 S 補集背後的理念是，它應該準確地包含集合 S 不包含的元素。我們將 S 的補集寫為 S′（您經常看到的另一種符號是）。因此，我們可能嘗試將 S 的補集定義為“所有不是 S 元素的元素集合”。例如，如果 S 是奇數整數集，那麼 S 的補集將包含所有偶數整數。但根據我們的定義，S 的補集還將包含我的姐姐 Donna、紅色和情人節，因為它們也不在 S 中。因此，補集將包含各種無用的垃圾。如果這是一個日常的談話，我們就可以簡單地將這些垃圾視為與我們的對話無關，並將其忽略。但在數學中，我們喜歡比這更精確。我們的解決方案是引入“全集”的概念。

全集

包含所有正在考慮的元素的集合稱為全集。它通常由英文大寫字母 U 表示。全集僅僅是我們當前正在討論的所有事物的集合。術語“全集”具有誤導性。它不是一個包含宇宙中所有事物的集合。它也不是普遍的，每個人都同意使用它。也許更好的術語應該是“話語的宇宙”。如果我們對實數做陳述，那麼我們說我們的全集是實數集。另一方面，如果我們討論的是自然數，我們的談話的宇宙將是所有自然數的集合。另一種思考方式是使用韋恩圖。我們可以將集合 S 繪製為

陰影區域表示 S 中的元素。但我們如何給圖著色來表示 S 的補集呢？我們想要給圓形外部著色。但我們在哪裡停止？“向外一點”？到紙的邊緣？也許紙的背面也是？全集使我們清楚地知道在哪裡停止

請記住，定義全集的唯一原因是在進行集合補集時消除歧義。如果我們不打算使用集合補集，那麼我們就不需要擔心我們的全集是什麼。

集合補集（真正的補集）

現在我們有了全集的概念，我們將給出集合補集的真實定義：集合 T 的補集是包含所有在全集中但不在 T 中的元素的集合。問題：假設 R、S 和 T 是某個全集 U 的子集。繪製韋恩圖以確定以下語句是否總是為真。

（您之前在標題為“組合集合：並集和交集”的部分中遇到過這個問題。您這次得到相同的答案了嗎？如果沒有，韋恩圖是否誤導了您？在用真子集解釋韋恩圖時，您必須小心。）

德摩根定律

在數學中，術語“定律”描述了一個可以從更基礎的數學中證明的陳述。有許多同義詞：公理、定理、推論等。術語“定律”通常與很久以前發現的陳述一起使用，通常是在該數學領域正式化之前。德摩根定律以奧古斯都·德摩根命名，它們是

以及

注意這兩個語句之間的對稱性。如果您取一個語句並交換 和 ，您就會得到另一個語句。德摩根定律很重要，因為它們提供了一種將補集從複雜表示式的“外部”移動到“內部”的方法。透過反覆應用德摩根定律，我們可以將任何包含補集的複雜表示式轉換為具有簡單集合補集的等效表示式。例如

在最後一步中，我們利用了二次補集會使我們回到原始集合的事實，即對於任何集合 S，

問題：使用韋恩圖來證明德摩根定律是正確的。使用德摩根定律將這些表示式轉換為只有基本集合補集的等效表示式。

其他有用定律

有許多定律涉及交集、並集和補集運算的各種組合。形式為 X = Y 的定律特別有用，因為我們可以用它們將一個表示式轉換為其他等效表示式。這裡有一些具有這種形式的有用定律。每個定律右側是一個文字描述。並集是可交換的 交集是可交換的 當運算可交換時，我們不必關心運算元的順序。並集是結合的 交集是結合的 當運算結合時，我們可以刪除不必要的括號。例如，我們可以寫，因為 和 之間沒有區別。

	intersection distributes over union

這類似於對於實數，乘法對加法具有分配律的事實。也就是說，。如果我們將 換成 *，將 換成 +，我們就會得到上面的定律。還要注意，並集不對交集具有分配律，就像對於實數，加法不對乘法具有分配律一樣。接下來的兩條定律包括 U，即全集。排中律 這是排中律，因為全集中的任何元素要麼是 S 的元素，要麼不是 S 的元素。沒有中間地帶。全集是交集的單位元 這表明與全集取交集不會產生任何變化，就像將一個實數乘以 1 不會產生任何變化一樣。問題：使用韋恩圖驗證上述每條定律。

交集並集形式

確定兩個集合表示式之間關係的一個好的起點是將它們都簡化為交集並集形式。這是一種形式為 (? ? … ?) (? ? … ?) (? ? … ?) … (? ? … ?) 的表示式，其中所有問號都是命名的集合或其補集。例如，表示式

處於交集並集形式。這類似於 R 上的表示式的積之和形式，例如

或者，按照省略乘法符號和額外括號的常用約定，

問題：需要哪些數學屬性和/或符號約定才能從前一行得到上一行？這裡有一個將任何集合表示式轉換為交集並集形式的一般技術，反覆應用德摩根定律將所有補集移動到命名的集合。反覆應用分配律將交集並集轉換為並集交集。充分利用結合律來消除不必要的括號，並利用交換律來將事物排列在適當的順序。這裡是一個簡單的例子。

（我最初打算進一步討論這個主題，也就是說，開發一個完整的演算法來確定兩個集合表示式是否等效（或者是否有子集關係）。但我認為它會涉及太多細節，所以我將在這裡停止。問題：確定以下關係是否總是為真。首先將表示式的兩邊轉換為交集並集形式。

集合的集合

在本主題的開頭，我說過集合可以用來構建整個數學體系。這是因為集合的元素本身也可以是集合。例如，考慮集合 S = {1, {1}, {1, {1}}}。這個集合有三個元素：數字 1，集合 {1} 和集合 {1, {1}}。在處理集合的集合時，重要的是不要混淆集合的元素和集合的子集。例如，如果 S = {1, {1}, {1, {1}}}，那麼數字 1 是 S 的元素，而不是 S 的子集。另一方面，集合 {1} 既是 S 的元素，也是 S 的子集。這怎麼可能呢？讓我用不同的顏色寫出 S 中的每一個元素。S = {1, {1}, {1, {1}}} 現在 {1} 明顯地是 S 的一個元素。但除此之外，{1} 也是 S 的子集，但原因不同。 問題：集合 {1, {1}} 是 S 的元素嗎？是 S 的子集嗎？ 問題：集合 {1, {1, {1}}} 是 S 的元素嗎？是 S 的子集嗎？ 集合 S 有多少個子集？列出它們。 假設我們從空集 Ø 開始。如果它是數學宇宙中唯一的東西，我們還能用它構建哪些其他的集合呢？只有一個可能性，那就是把它放到一個集合中，也就是 {Ø}。Ø 和 {Ø} 真的不同嗎？Ø 有多少個元素？{Ø} 有多少個元素？ 因此，我們現在有兩個集合，Ø 和 {Ø}。我們能用它們構建哪些新的集合呢？好吧，一個可能性是擁有一個只包含 {Ø} 的集合，即 Template:Ø。 （集合 Template:Ø 和 {Ø} 只有一個元素；我們如何確保它們不是同一個集合？提示：使用集合相等的定義。） 但是從 Ø 和 {Ø}，我們也可以構建集合 (Ø, {Ø})。這顯然是一個新的集合，因為它有兩個元素——這是我們迄今為止最大的集合！ 問題：透過對我們目前知道的四個集合 (Ø, {Ø}, Template:Ø 和 (Ø, {Ø}) ) 進行集合運算，你能構建多少個新的集合？列出它們。 設計一個程式，它可以接受任何集合（包括空集），並生成一個新的（不同的）集合。從空集開始，寫出你的程式重複應用於先前生成的集合時產生的前 6 個集合。你的程式會產生兩次相同的集合嗎？如果是，寫一個永遠不會重複的第二個程式。如果你的第一個程式永遠不會重複，寫一個會重複的第二個程式。 從集合中構建自然數 你可能感到驚訝，但你在上一個問題集中已經構建了自然數！你可能沒有認出來，因為你用不熟悉的符號寫了它們。但我們如何寫（或發音）數字對它們的意義沒有任何影響。在英語中，我們說“零、一、二、三，……”，而在法語中，我們說“zéro, un, deux, trois, …” ，但數字並沒有什麼不同。同樣地，我們可以使用不同的數學符號，比如 0, 1, 2, 3, … 或者 <nothing>, I, II, III, …，底層的數字本身不會有任何不同。重要的是數字的性質。對於自然數，重要的性質是： 對於任何 n ∈ N，存在一個函式（我們稱之為“後繼”函式，並將其寫為 succ），其值為另一個自然數。 存在一個唯一的 n ∈ N，它不是任何其他自然數的後繼。我們把這個數字稱為“零”，並將其寫為“0”。 對於任何非零的 n ∈ N，只有一個 m ∈ N 使得 n = succ(m)。 就這樣。任何滿足這些性質的物體集合本質上就是自然數。（稍後，我們會更精確地說明我們所說的“本質上”是什麼意思。） 你知道的關於自然數的任何其他東西（加法、乘法的性質，……）都是自然的結果。很酷，對吧？我們現在不會真正證明這一點，但我們將在離散數學主題中證明。

羅素悖論

羅素悖論，以哲學家/數學家伯特蘭·羅素的名字命名，是樸素集合論如何透過接受任何東西作為集合而陷入困境的標準例子。為了看到這一點，讓我們將我們的全集 U 設為所有集合的集合，我們將考慮那些不包含自身作為成員的集合。（插曲：我們迄今為止看到的任何集合都不包含自身作為成員。實際上，有限集合不可能包含自身作為成員。但是關於無窮集合 Ц = …{{{{{{ Ø }}}}}}… 這是一個無窮集合，是序列 Ø, { Ø }, Template:Ø, {{{ Ø }}}, … 的極限。該序列中的每個集合只有一個元素。在 Ц 的情況下，它的元素是 …{{{{{{ Ø }}}}}}… 這正是 Ц。所以 Ц ∈ Ц，也就是說 Ц 包含自身。插曲結束。） 讓我們把不包含自身的集合稱為“合理”集合。顯然，有很多合理的集合。我們將定義 R 為所有合理集合的集合。（你不能比這更合理了。） 所以 R ∈ R。但事實證明，R 體現了矛盾。為了看到這一點，問問自己“R 是一個合理的集合嗎？” 如果你回答“是”，那麼 R 包含 R，因為我們定義 R 為所有合理集合的集合。另一方面，根據合理性的定義，R 不包含 R。回答“否”對這個問題沒有用。你仍然會得出結論，R 包含 R，而 R 不包含 R。 公理化集合論透過對集合的定義更加小心來解決這個悖論。事實證明，“所有集合的集合”不是公理化集合論中可以構建的東西。